北京市西城区2012届高三上学期期末教学统一检测数学（文科）.doc

北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）2012.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．复数（）（A）（B）（C）（D）2．若向量，，则与共线的向量可以是（）（A）（B）（C）（D）3.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）（A）（B）（C）（D）4．“直线的方程为”是“直线平分圆的周长”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件5．一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个主视图左视图几何体的俯视图不可能是（）（A）（B）（C）（D）6．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）（A）（B）（C）（D）7．已知，给出下列四个不等式：①；②；③；④．其中一定成立的不等式为（）（A）①、②、③（B）①、②、④（C）①、③、④（D）②、③、④8．有限集合中元素的个数记作.已知，，，，且，.若集合满足，且，，则集合的个数是（）（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．函数的定义域是______.10．双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是______．11．若曲线在原点处的切线方程是，则实数______．12．在△中，三个内角，，的对边分别为，，．若，，，则______．13．已知是公比为的等比数列，若，则；______．14．设，不等式组所表示的平面区域是．给出下列三个结论：①当时，的面积为；②，使是直角三角形区域；③设点,对于有．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）某种零件按质量标准分为五个等级.现从一批该零件中随机抽取个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：等级频率（Ⅰ）在抽取的个零件中，等级为的恰有个，求；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为和的所有零件中，任意抽取个，求抽取的个零件等级恰好相同的概率.17．（本小题满分14分）如图，正三棱柱的侧棱长和底面边长均为，是的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．18.（本小题满分13分）已知函数，其中.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若在上的最大值是，求的值.19.（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.20.（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“衍生数列”.（Ⅰ）写出数列的“衍生数列”；（Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：；（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数列，，，…的首项取出，构成数列.证明：是等差数列.北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2012.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C；2.D；3.B；4.A；5.D；6.C；7.A；8.A.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.；10.；11.；12.；13.，；14.①、③.注：13题第一问2分，第二问3分；14题多选、少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：.………………4分（Ⅱ）解：.………………8分因为，所以.………………9分当，即时，的最大值为；………………11分当，即时，的最小值为.………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由频率分布表得，即.………………2分由抽取的个零件中，等级为的恰有个，得.………………4分所以.………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，等级为的零件有个，记作；等级为的零件有个，记作.从中任意抽取个零件，所有可能的结果为：共计种.………………9分记事件为“从零件中任取件，其等级相等”.则包含的基本事件为共4个.………………11分故所求概率为.………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为是正三棱柱，所以平面.又平面，所以.………………3分因为△是正三角形，是的中点，所以，………………4分所以平面.………………5分（Ⅱ）证明：连结，交于点，连结.由是正三棱柱，得四边形为矩形，为的中点.又为中点，所以为中位线，所以∥，………………8分因为平面，平面，所以∥平面.………………10分（Ⅲ）解：因为，………………12分所以.………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：.………………3分当时，，从而函数在上单