2022版新教材数学必修第二册人教A版学案：8-6-2 直线与平面垂直（二） WORD版含解析.doc

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。8．6.2直线与平面垂直(二)学校操场上的有多根旗杆，做建筑的地基时需要先向地下打多根立柱，在现实生活中有好多这样的现象．【问题1】每一根旗杆与地面是怎样的位置关系？【问题2】旗杆所在的直线之间是什么关系？【问题3】直线与平面垂直有哪些性质？1．直线与平面垂直的性质定理(1)定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．(2)符号：a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(3)图形：如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条直线与这个平面是什么位置关系？提示：垂直．2．空间距离(1)直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．(2)平面与平面之间的距离如果两个平面互相平行，那么其中一个平面上任意点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做两个平面间的距离．是不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离？提示：不是，只有当直线与平面平行，平面与平面平行时才涉及距离问题．直线与平面垂直的性质定理(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论．(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直).(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．(4)定理的推证过程采用了反证法．1.与同一条直线垂直的两个平面什么关系？2．如果一条直线与两个平行平面中的一个垂直，那么这条直线与另一个平面什么关系？3．若两条直线a，b，平面α，满足b⊥α，b⊥a，那么直线a与平面α的位置关系是什么？提示：1.平行；2.垂直；3.a∥α或a⊂α.观察教材图8.6－19，若直线AA1，BB1不与平面α垂直，AA1∥BB1时，线段AA1，BB1的长度什么关系？提示：相等．1．若直线l与平面α不垂直，m⊂α，那么l与m的位置关系是()A．垂直B．平行C.异面或相交D．以上都有可能【解析】选D.由线面位置关系判断．2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A.相交B．平行C.异面D．相交或平行【解析】选B.圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知是平行关系．基础类型一直线与平面垂直的应用(逻辑推理)1．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则eq\f(PE,EC)＝________．2．如图，正方体A1B1C1D1­ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.【解析】1.在三棱锥P­ABC中，因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC.因为EF⊂平面PAC，所以EF⊥AB，因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF，因为F是AC的中点，E是PC上的点，所以E是PC的中点，所以eq\f(PE,EC)＝1.答案：12．如图所示，连接AB1，B1C，BD.因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1.又BD1⊂平面BDD1，所以AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C.又AC∩B1C＝C，所以BD1⊥平面AB1C.因为EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，所以EF⊥B1C.又AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1C.所以EF∥BD1.关于线面垂直性质定理的应用(1)在证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面．(2)注意线面垂直性质定理的推论的应用，利用平行关系转化为垂直关系，或将垂直关系转化为平行关系．基础类型二空间中的距离问题(数学运算)【典例】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1.(1)证明：直线BC1平行于平面D1AC；(2)求直线BC1到平面D1AC的距离．【解析】(1)因为ABCD­A1B1C1D1为长方体，故AB∥C1D1，AB＝C1D1，故四边形ABC1D1为平行四边形，故BC1∥AD1，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面D1AC.(2)直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离，设为h，考虑三棱锥D1­ABC的体积，以平面ABC为底面，可得V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2))×1＝eq\f(1,3)，而△AD1C中，AC＝D1C＝eq\r(