新教材人教A版数学必修第二册学案第8章8.6.1-直线与直线垂直Word版含解析.doc

8.6空间直线、平面的垂直
8.6.1直线与直线垂直
学习任务核心素养1．了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．(重点、难点)
2．会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．(重点、易错点)1．通过实物观察、抽象出空间两直线位置关系、异面直线概念及夹角的定义，培养直观想象的核心素养．
2．借助异面直线所成角及垂直关系的证明，培养数学运算与逻辑推理的核心素养．观察下面两个图形．
问题：(1)教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线的位置关系是什么？
(2)六角螺母中直线AB与CD的位置关系是什么？CD与BE的位置关系是什么？
知识点异面直线所成的角
1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
2．异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°．
3．当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b．
异面直线垂直与平面内两条直线垂直有何异同？
[提示]相同点是所成的角都是90°，不同点是异面直线垂直没有交点，平面内两条直线垂直有公共点．
1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()
A．共面B．平行
C．异面 D．平行或异面
D[若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]
2．已知正方体ABCD­A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为________；
(2)AD与BC′所成的角为________．
(1)60°(2)45°[(1)连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．
由△A′BC′为正三角形，
知∠A′BC′＝60°，
(2)由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．
易知∠C′BC＝45°．]
类型1异面直线所成的角
【例1】如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′．
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？
(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
1．在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度，如图在正方体ABCD­EFGH中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？
[提示]平移转化成相交直线所成的角，由于AB∥EF，可用EF与HF的夹角来刻画．应用的是数学上的转换思想，即化空间图形问题为平面图形问题．
2．异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？
[提示]异面直线所成角的范围为(0°，90°]，如果两条异面直线a，b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直，记为a⊥b．
[解](1)由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′，B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．
(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°．
(3)直线AB，BC，CD，DA，A′B′，B′C′，C′D′，D′A′分别与直线AA′垂直．
求异面直线所成角的方法步骤是什么？
[提示](1)作：利用三角形的中位线、长方体中相对应的线段，平行四边形的对边等平移两异面直线使之相交于一个点，并说明相应的角为异面直线所成的角或其补角．
(2)求：求出三角形的边，利用余弦定理求出角的余弦，进而求出角；如果是特殊三角形，如等边三角形、直角三角形等，则利用相应三角形的性质求角．
eq\o([跟进训练])
1．如图，已知在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝2eq\r(3)，AD＝2eq\r(3)，AA′＝2．
(1)BC和A′C′所成的角为________；
(2)AA′和BC′所成的角为________．
(1)45°(2)60°[(1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2eq\r(3)，B′C′＝2eq\r(3)，所以∠B′C′A′＝45°．
(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．
在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2eq\r(3)，BB′＝AA′＝2，
所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°．
因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°．]
2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB的中点，则DB1与CM所成角的余弦值为________．
eq\f(\r(15),15)[将正方体ABCD­A1B1C1D1补上一个棱长相等的