2022年新教材高中数学 课时检测31 直线与平面垂直（一）（含解析）新人教A版必修第二册.doc

直线与平面垂直(一)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c()A.一定平行B.一定相交C.一定是异面直线D.一定垂直【解析】选D.两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一条直线也与第三条直线垂直.2.直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能()A.平行B.相交C.异面D.垂直【解析】选A.若l∥m,l⊄α,m⊂α,则l∥α,这与已知l⊥α矛盾.所以直线l与m不可能平行.3.若两直线l1与l2异面,则过l1且与l2垂直的平面()A.有且只有一个B.可能存在,也可能不存在C.有无数多个D.一定不存在【解析】选B.当l1⊥l2时,过l1且与l2垂直的平面有一个,当l1与l2不垂直时,过l1且与l2垂直的平面不存在.4.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两条对角线AC,BD的关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交【解析】选C.取BD中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,所以BD⊥平面AOC,BD⊥AC,又BD,AC异面,所以选C.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,则PD与平面ABCD所成的角为图中的()A.∠PADB.∠PDAC.∠PDBD.∠PDC【解析】选B.因为PA⊥平面ABCD,所以AD是PD在平面ABCD上的射影,故∠PDA是PD与平面ABCD所成的角.6.(多选题)设l,m,n为三条不同的直线,α为一个平面,下列命题正确的有()A.若l⊥α,则l与α相交B.若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥αC.若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥αD.若α∥β,l⊥α则l⊥β【解析】选ACD.A显然正确;对B,只有当m,n相交时,才有l⊥α,故B错误;对C,由l∥m,m∥n⇒l∥n,由l⊥α,得n⊥α,故C正确;对D,α∥β,l⊥α则l⊥β正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD,DA的长和两条对角线AC,BD都相等,且E为AD的中点,F为BC的中点,则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为________.【解析】连接EF,根据题意,BC⊥AF,BC⊥DF.因为AF∩DF=F,所以BC⊥平面ADF.所以∠BEF是直线BE和平面ADF所成的角,设BC=2,则BF=1,BE=,所以sin∠BEF==.答案:8.(三空题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于________;AB1与平面ADD1A1所成的角等于________;AB1与平面DCC1D1所成的角等于________.【解析】∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角,即45°;∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45°;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0°.答案:45°45°0°三、解答题(每小题10分,共20分)9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:A1C⊥平面BC1D.【证明】如图,连接AC,所以AC⊥BD,又因为BD⊥A1A,AC∩AA1=A,AC,A1A⊂平面A1AC,所以BD⊥平面A1AC,因为A1C⊂平面A1AC,所以BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.又因为BD∩BC1=B,BD,BC1⊂平面BC1D,所以A1C⊥平面BC1D.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.(1)证明:PB∥平面ACM;(2)证明:AD⊥平面PAC;(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.【解析】(1)如图,连接BD,MO.在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点,又M为PD的中点,所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM,MO⊂平面ACM,所以PB∥平面ACM.(2)因为∠ADC=45°,且AD=AC=1,所以∠DAC=90°,即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PO⊥AD,而AC∩PO=O,所以AD⊥平面PAC.(3)取DO的中点N,连接MN,AN.因为M为PD的中点,所以MN∥PO,且MN=PO=1.由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.在Rt△DAO中,AD=1,AO=,所以DO=,从而AN=DO=.在Rt△ANM中,tan∠MAN===,即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.下列说法中正确的个数是()①如果直