2021高考数学（理）导学大一轮人教A广西专用考点规范练16 导数的综合应用 WORD版含解析.docx

考点规范练16导数的综合应用考点规范练B册基础巩固1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1处都取得极值.(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;(2)若对于∀x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.解:(1)∵f(x)=x3+ax2+bx+c,∴f'(x)=3x2+2ax+b.又f(x)在x=-23与x=1处都取得极值,∴f'-23=129-43a+b=0,f'(1)=3+2a+b=0,两式联立解得a=-12,b=-2,∴f(x)=x3-12x2-2x+c,f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),令f'(x)=0,得x1=-23,x2=1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-∞,-23-23-23,11(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗∴函数f(x)的递增区间为-∞,-23与(1,+∞);递减区间为-23,1.(2)f(x)=x3-12x2-2x+c,x∈[-1,2],当x=-23时,f-23=2227+c为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值,要使f(x)<c2(x∈[-1,2])恒成立,只需c2>f(2)=2+c,解得c<-1或c>2.∴c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).2.设函数f(x)=e2x-alnx.(1)讨论f(x)的导函数f'(x)的零点的个数;(2)证明:当a>0时,f(x)≥2a+aln2a.(1)解f(x)=e2x-alnx的定义域为(0,+∞),∴f'(x)=2e2x-ax.当a≤0时,f'(x)>0恒成立,故f'(x)没有零点.当a>0时,∵y=e2x在区间(0,+∞)内单调递增,y=-ax在区间(0,+∞)内单调递增,∴f'(x)在区间(0,+∞)内单调递增.∵当x→0时,y=e2x→1,y=-ax→-∞,∴f'(x)→-∞.又∵f'(a)>0,∴当a>0时,导函数f'(x)存在唯一的零点.(2)证明由(1)知,可设导函数f'(x)在区间(0,+∞)内的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f'(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)在区间(0,x0)内单调递减,在区间(x0,+∞)内单调递增,∴当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).∵2e2x0-ax0=0,∴f(x0)=a2x0+2ax0+aln2a≥2a+aln2a,当且仅当x0=12时等号成立,此时a=e.故当a>0时,f(x)≥2a+aln2a.3.(2019辽宁实验中学高三模拟)已知函数f(x)=a-sinxx,0<x<π.(1)当x=x0时,f(x)取得最小值f(x0),求实数a的取值范围及f(x0)的取值范围;(2)当a=π,0<m<π时,证明:f(x)+mlnx>0.(1)解f'(x)=-xcosx-a+sinxx2,设g(x)=sinx-xcosx-a,则g'(x)=xsinx>0在区间(0,π)内恒成立,故g(x)在区间(0,π)内单调递增.由f(x)在x=x0处取到最小值可知,存在x0∈(0,π),使f'(x0)=0,即g(x)=0在区间(0,π)内有解,则g(0)=-a<0,g(π)=π-a>0,解得0<a<π.因为f'(x0)=0,所以sinx0-x0cosx0-a=0,即a=sinx0-x0cosx0.所以f(x0)=a-sinx0x0=sinx0-x0cosx0-sinx0x0=-cosx0.又x0∈(0,π),所以f(x0)∈(-1,1).所以a的取值范围为(0,π),f(x0)的取值范围为(-1,1).(2)证明欲证π-sinxx+mlnx>0,只需证明πx+mlnx>sinxx.设函数h(x)=x-sinx,则h'(x)=1-cosx>0在区间(0,π)内恒成立,故h(x)在区间(0,π)内单调递增,故h(x)>h(0)=0,即x>sinx.又x∈(0,π),所以sinxx<1.设函数m(x)=πx+mlnx,则m'(x)=mx-πx2.当0<m≤1时,m'(x)<0在区间(0,π)内恒成立,故m(x)在区间(0,π)内单调递减,故m(x)>m(π)=1+mlnπ>1.当1<m<π时,若πm<x<π,则m'(x)>0,若0<x<πm,则m'(x)<0,故m(x)在区间0,πm内单调递减,在区间πm,π内单调递增,故m(x)>mπm=m+mlnπm>1.综上,πx+mlnx>1>sinxx在区间(0,π)内恒成立.故当a=π,0<m<π时,f(x)+mlnx>0.4.已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1).(1)当a>1时,求证:函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;(2)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值.(