2021-2022学年高中数学人教B版选择性必修第二册课后巩固提升：4-2-5 正态分布 WORD版含解析.docx

4.2.5正态分布课后篇巩固提升必备知识基础练1.正态曲线关于y轴对称,当且仅当它所对应的随机变量的期望为()A.1B.-1C.0D.不确定答案C解析因为X=μ为其对称轴,所以μ=0.2.设X~N(10,0.64),则D(X)等于()A.0.8B.0.64C.0.642D.6.4答案B解析因为X~N(10,0.64),所以D(X)=0.64.3.某次市教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩服从正态分布,相应的正态曲线如图所示,则下列说法中正确的是()A.三科总体的标准差相同B.甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同C.丙科总体的平均数最小D.甲科总体的标准差最小答案D解析由图像知甲、乙、丙三科的平均分一样,但标准差不同,σ甲<σ乙<σ丙.故选D.4.若随机变量X~N(μ,σ2),则Y=aX+b服从()A.N(aμ,σ2)B.N(0,1)C.ND.N(aμ+b,a2σ2)答案D解析因为X~N(μ,σ2),所以E(X)=μ,D(X)=σ2.所以E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=aμ+b,D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2σ2.从而Y~N(aμ+b,a2σ2).5.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ≥2)=a,P(0<ξ≤1)=1-3a,则P(ξ≤0)=()A.B.C.D.答案A解析因为随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),由正态分布的对称性知,P(0<ξ≤1)=P(1≤ξ<2),又P(ξ≥1)=,P(ξ≥1)=P(1≤ξ<2)+P(ξ≥2),所以a+1-3a=,解得a=,从而P(ξ≤0)=P(ξ≥2)=,故选A.6.已知正态分布N(μ,σ2)的密度曲线是f(x)=,x∈R.给出以下四个命题:①对任意x∈R,f(μ+x)=f(μ-x)成立;②如果随机变量X服从N(μ,σ2),且F(x)=P(X<x),那么F(x)是R上的增函数;③如果随机变量X服从N(108,100),那么X的期望是108,标准差是100;④随机变量X服从N(μ,σ2),P(X<1)=,P(X≥2)=p,则P(0<X<2)=1-2p.其中,真命题的序号是.答案①②④解析如果随机变量X服从N(108,100),那么X的期望是108,标准差是10,故③是假命题,其余都是真命题.7.灯泡厂生产的某种灯泡的寿命为X(单位:小时),已知X~N(1000,302),要使这种灯泡的平均寿命为1000小时的概率约为99.7%,问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上?(附:X~N(μ,σ2),P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997)解因为X~N(1000,302),所以μ=1000,σ=30.所以P(1000-3×30≤X≤1000+3×30)=P(910≤X≤1090)≈99.7%.所以灯泡的最低寿命应控制在910小时以上.8.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布N(90,100).(1)试求考生成绩X位于区间[70,110]内的概率;(2)若这次考试共有2000名考生参加,试估计成绩在[80,100]内的考生大约有多少人?解因为X~N(90,100),所以μ=90,σ==10.(1)由于正态分布N(μ,σ2)在区间[μ-2σ,μ+2σ]内取值的概率约是0.954,而在该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考生成绩X位于区间[70,110]内的概率约为0.954.(2)由于μ=90,σ=10,所以μ-σ=90-10=80,μ+σ=90+10=100.由于正态分布N(μ,σ2)在区间[μ-σ,μ+σ]内取值的概率约为0.683,所以考生成绩X位于区间[80,100]内的概率约是0.683.一共有2000名考生,成绩在[80,100]内的概率约为0.683,所以在这2000名考生中,成绩在[80,100]内的人数大约为2000×0.683=1366.关键能力提升练9.已知X~N(4,σ2),且P(X≤2)=0.3,则P(X<6)=()A.0.3B.0.4C.0.85D.0.7答案D解析因为X~N(4,σ2),正态曲线的对称轴为X=4,因为P(X≤2)=0.3,所以P(X≥6)=P(X≤2)=0.3,所以P(X<6)=1-P(X≥6)=1-0.3=0.7.故选D.10.(2020山东高三期末)已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,则P(-2<ξ<1)=()A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6答案C解析由题意可知μ=1,正态分布曲线关于x=1对称,P(ξ≥4)=1-P(ξ<4)=0.1,根据对称性可知,P(ξ≤-2)=P(ξ≥4)=0.1,P(-2<ξ<1)=0.5-P(ξ≤-2)=0.5-0.1=0