2021-2022学年高中数学人教B版选择性必修第三册课后巩固提升：5-1-2 数列中的递推 WORD版含解析.docx

5.1.2数列中的递推课后篇巩固提升必备知识基础练1.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是()A.a1=1,an+1=an+n,n∈N+B.a1=1,an=an-1+n,n∈N+,n≥2C.a1=1,an+1=an+(n+1),n∈N+,n≥2D.a1=1,an=an-1+(n-1),n∈N+,n≥2答案B解析由题可知a1=1,an-an-1=n(n≥2).2.已知数列{an}中的首项a1=1,且满足an+1=an+,此数列的第3项是()A.1B.C.D.答案C解析a1=1,a2=a1+=1,a3=a2+.3.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,则数列{an}的一个通项公式为()A.an=nB.an=n+1C.an=2nD.an=2n-1答案D解析由题可知a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,经验证,选D.4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4n2-10n,则a2a6=()A.52B.68C.96D.108答案B解析当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n2-10n-[4(n-1)2-10(n-1)]=8n-14,所以a2a6=(8×2-14)×(8×6-14)=68.故选B.5.数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2),且a1=0,则此数列的第5项是.答案255解析因为an=4an-1+3(n≥2),a1=0,所以a2=4×0+3=3,a3=4×3+3=15,a4=4×15+3=63,a5=4×63+3=255.6.已知数列{an}满足an+2+an=an+1(n∈N*),且a1=1,a2=2,则a2021=.答案-2解析因为an+2+an=an+1(n∈N*),所以an+2=an+1-an.因为a1=1,a2=2,所以a3=a2-a1=2-1=1,a4=a3-a2=1-2=-1,a5=a4-a3=-1-1=-2,a6=a5-a4=-2-(-1)=-1,a7=a6-a5=-1-(-2)=1,a8=a7-a6=1-(-1)=2,所以数列{an}是周期为6的数列,所以a2021=a336×6+5=a5=-2.7.(2020四川树德中学高一期中)已知Sn是数列{an}的前n项和,若an=sin,则S2020的值为.答案解析∵T==6,且a1=,a2=,a3=0,a4=-,a5=-,a6=0,a7=,…,所以数列{an}的周期为6,且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,又2020=6×336+4,∴S2020=(a1+a2+a3+a4)+336×0=.8.已知数列{an}中,a1=1,an+1=,求通项an.解将an+1=两边同时取倒数,得,则,即,∴,…,,把以上这(n-1)个式子累加,得.∵a1=1,∴an=.9.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-30.(1)求数列的前三项,并判断60是此数列的第几项.(2)当n为何值时,an=0,an>0,an<0?(3)该数列的前n项和Sn是否存在最大值或最小值?说明理由.解(1)由an=n2-n-30,得a1=1-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.令an=60,则60=n2-n-30.解得n=10或n=-9(舍去).∴60是此数列的第10项.(2)令an=n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去),∴a6=0.令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).∴当n>6(n∈N+)时,an>0.令n2-n-30<0,解得0<n<6,∴当0<n<6(n∈N+)时,an<0.(3)Sn存在最小值,不存在最大值.由an=n2-n-30=n-2-,知{an}是递增数列,且a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…,故Sn存在最小值S5=S6,不存在Sn的最大值.关键能力提升练10.(2020河南周口中英文学校高二期中)数列{an}满足a1=,an+1=1-,则a2018=()A.B.-1C.2D.3答案B解析当n=1时,a2=1-2=-1,a3=1-(-1)=2,a4=1-,a5=1-2=-1,所以数列的周期是3,所以a2018=a(3×672+2)=a2=-1.11.(2020浙江高二期末)已知数列{an}满足a1=a(a∈R),an+1=+2an-2(n∈N+),则下列说法错误的是()A.若a>1,则数列{an}为递增数列B.若数列{an}为递增数列,则a>1C.存在实数a,使数列{an}为常数数列D.存在实数a,使|an+1|≤2恒成立答案B解析对于A选项,若a>1,则an+1-an=+an-2=an+2->1+2-=0,∴an+1>an,即数列{an}为递增数列,则A正确;对于B选项,若数列{an}为递增数列,则an+1-an=+an-2=an+2->0,∴an+<-,或an