2021-2022学年高中数学人教B版选择性必修第三册课后巩固提升：5-2-1 等差数列 WORD版含解析.docx

5.2等差数列5.2.1等差数列课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知等差数列{an}的通项公式为an=90-2n,则这个数列共有正数项()A.44项B.45项C.90项D.无穷多项答案A解析令an=90-2n>0,解得n<45.又因为n∈N*,所以n=44.故数列{an}共有44项正数项.2.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=()A.12B.16C.20D.24答案B解析a2+a10=a4+a8=16,故选B.3.《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题:“今有竹七节,下两节容米四升,上两节容米二升,各节欲均容,问逐节各容几升?”其大意为:现有一根七节的竹子,最下面两节可装米四升,最上面两节可装米二升,如果竹子装米量逐节等量减少,问竹子各节各装米多少升?以此计算,第四节竹子的装米量为()A.1升B.升C.升D.升答案B解析设竹子自下而上的各节容米量分别为a1,a2,…,a7,则有a1+a2+a6+a7=6,由等差数列的性质可得a1+a7=2a4=3,所以a4=.故选B.4.若等差数列的第一、二、三项依次是,则该数列的公差d是.答案解析依题意得2×,解得x=2,则d=.5.等差数列{an}中,若a2,a2020为方程x2-10x+16=0的两根,则a1+a1011+a2021=.答案15解析∵a2,a2020为方程x2-10x+16=0的两根,∴a2+a2020=10,∴2a1011=10,即a1011=5,∴a1+a1011+a2021=3a1011=15.6.一种游戏软件的租金,第一天6元,第二天12元,以后每天比前一天多3元,则第n(n≥2)天的租金an=(单位:元).答案3n+6(n≥2)解析a1=6,a2=12,a3=15,a4=18,…,从第二项起,{an}才构成等差数列,且公差为3,在这个等差数列中第一项是12,而第n天的租金,是第(n-1)项,故an=12+(n-2)×3=3n+6(n≥2).7.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,…中的项?如果是,那么是第几项?解(1)设等差数列{an},则a1=8,d=5-8=2-5=-3,得数列的通项公式为an=-3n+11,令n=20,得a20=-49.(2)设等差数列{bn},则b1=-5,d=-9-(-5)=-4,得数列通项公式为bn=-5-4(n-1).令bn=-401,解得n=100,即-401是这个数列的第100项.8.四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.解设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,∴d2=1,∴d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列,所以d>0,∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.9.(2020湖南长沙高二学业考试)已知数列{an}的各项都为正数,前n项和为Sn,且Sn=(an+1)2(n∈N+).(1)求a1,a2;(2)求证:数列{an}是等差数列.(1)解由已知条件得,a1=(a1+1)2.∴a1=1.又有a1+a2=(a2+1)2,即-2a2-3=0.解得a2=-1(舍)或a2=3.(2)证明由Sn=(an+1)2得当n≥2时,Sn-1=(an-1+1)2,∴Sn-Sn-1=[(an+1)2-(an-1+1)2]=+2(an-an-1)],即4an=+2an-2an-1,∴-2an-2an-1=0,∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0,∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2(n≥2).所以数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.关键能力提升练10.(2021贵州高三模拟)数列{an}中,a1=5,a2=9.若数列{an+n2}是等差数列,则{an}的最大项为()A.9B.11C.D.12答案B解析令bn=an+n2,又a1=5,a2=9,∴b1=a1+1=6,b2=a2+4=13,∴数列{an+n2}的公差为13-6=7,则an+n2=6+7(n-1)=7n-1,∴an=-n2+7n-1=-n-2+,又n∈N*,∴当n=3或n=4时,an有最大值为-=11,故选B.11.设{an}是首项为50,公差为2的等差数列,{bn}是首项为10,公差为4的等差数列,以ak和bk为两边的矩形内的最大圆的面积记为Sk,如果k≤21,那么Sk等于()A.π(k+24)2B.π(k+12)2C.π(2k+3)2D.π(2k+1)2答案C解析由题意,得ak=2k+48,bk=4k+6,bk-ak=(4k+6)-(2k+48)=2k-42.∵k≤21,∴2k-42≤0,∴bk≤ak,∴矩形内的最大圆是以bk为直径的