2021-2022学年人教A版数学必修二作业：2-3-3-2-3-4 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质 WORD版含解析.docx

2.3.3~2.3.4直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质课后篇巩固提升基础巩固1.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.不确定解析因为l⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC.同理可证,m⊥平面ABC,所以l∥m,故选C.答案C2.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,在平面ABB1A1上任取一点M,作ME⊥AB于E,则()A.ME⊥平面ABCDB.ME⊂平面ABCDC.ME∥平面ABCDD.以上都有可能解析由于平面ABB1B1A1⊥平面ABCD,平面ABB1A1∩平面ABCD=AB,ME⊥AB,ME⊂平面ABB1A1,所以ME⊥平面ABCD.答案A3.设l,m,n为三条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列命题中正确的个数是()①若l⊥α,m∥β,α⊥β,则l⊥m;②若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;③若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;④若l∥m,m⊥α,n⊥β,α∥β,则l∥n.A.1B.2C.3D.4解析对于①,直线l,m可能互相平行,①不正确;对于②,直线m,n可能是平行直线,此时不能得知l⊥α,②不正确;对于③,由定理“平行于同一条直线的两条直线平行”与“若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面”得知,③正确;对于④,由l∥m,m⊥α得l⊥α,由n⊥β,α∥β得n⊥α,因此有l∥n,④正确.综上所述,其中命题正确的个数是2.答案B4.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是()A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点解析∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂平面PAC,∴AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,∴AC⊥BC.∴∠ACB=90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.答案D5.设α、β、γ为两两不重合的平面,l、m、n为两两不重合的直线,给出下列四个命题,①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;③若α∥β,l⊂α,则l∥β;④若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析①α⊥γ,β⊥γ,则α与β可能相交,如两个平面立在第三个平面上(一本展开的书立在课桌上).②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α与β可能相交.③正确.④正确.答案B6.在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)解析只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.答案VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)7.如图,A、B、C、D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=2,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,则CD=.解析取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC.又CE⊂平面ABC,可知DE⊥CE.由已知可得DE=3,EC=1,在Rt△DEC中,CD=DE2+CE2=2.答案28.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.求证:(1)直线EF∥平面PCD;(2)平面BEF⊥平面PAD.证明(1)如图,在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.又EF⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD是正三角形.因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.9.如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,PB=BC=CA=4,∠BCA=90°,E为PC中点.(1)求证:BE⊥平面PAC;(2)求二面角E-AB-C的正弦值.(1)证明∵PB⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴AC⊥PB.∵∠BCA=90°,∴AC⊥CB,而CB⊂平面PBC,PB⊂平面PBC,PB∩CB=B,∴AC⊥平面PBC.又BE⊂平面PBC,∴AC⊥BE.∵E为PC中点,且PB=BC,∴BE⊥PC.又PC⊂平面PAC,AC⊂平面PBC,PC∩AC=C,∴BE⊥平面PAC.(2)解过E作EF⊥BC,F为垂足,则EF∥PB.∵P