直线平面垂直与平面平面垂直的判定及其性质学生版.docx

直线、平面垂直与平面，平面垂直的判定及其性质
类型1线面垂直的判定
[要点点击]对直线与平面垂直的几点说明
(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．
(2)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．这是判断两条直线垂直的一种重要方法．

[典例1]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA＝PC，PB＝PD，AC∩BD＝O.求证：
(1)PO⊥平面ABCD；
(2)AC⊥平面PBD.

[巧归纳]证明线面垂直的步骤
(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
(3)根据判定定理得出结论．

[练习1]如图所示，空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，垂足为E，作AH⊥BE，垂足为H.
求证：AH⊥平面BCD.

类型2直线与平面所成的角
[要点点击]对斜线和平面所成的角的定义的理解
斜线和平面所成的角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角．

[典例2]如图，三棱锥A—SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．

[巧归纳]求直线和平面所成角的步骤
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；
(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．

[练习2]如图所示，已知正四面体(各棱长都相等的三棱锥)A—BCD的棱长为a，E为AD的中点，连接CE.
(1)求证：顶点A在底面BCD内的射影是△BCD的外心；
(2)求AD与底面BCD所成的角的余弦值；
(3)求CE与底面BCD所成的角的正弦值．

类型3线面垂直的综合应用

[典例3]如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．
(1)求证：EF⊥平面PAB；
(2)设AB＝eq\r(2)BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值．
[思路点拨](1)要证线面垂直，需证平面内有两条相交直线与已知直线垂直，而根据条件易得EF⊥PB，EF⊥AF，所以本题得证．
(2)要求线面角，得先找出或作出这个角，根据条件易得BP⊥平面EFA，故在△BEF中，只需过AC与BE的交点G作BF的平行线GH，则GH⊥平面EFA，∠GAH为所求角．

[巧归纳]利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧
证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高、菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法．

[练习3]如图，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．

类型4面面垂直的判定
[要点点击]平面与平面垂直的关键点
(1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况．例如正方体中任意相邻两个面都是互相垂直的．
(2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角来定义的．
[典例4]如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝4eq\r(2)，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.

(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；
(2)求多面体CDEFG的体积．
[思路点拨](1)由△EGF中的数量关系证得EG⊥FG，再由CF⊥平面EGF⇒EG⊥CF，从而EG⊥平面CFG，进而得证．
(2)作出四棱锥的高，由体积公式易得．
又CF∩GF＝F，∴EG⊥平面CFG.
又EG⊂平面DEG，∴平面DEG⊥平面CFG.

[巧归纳]常用的两个平面互相垂直的判定方法
(1)定义法，即说明这两个平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理，即一个平面经过另一个平面内的一条垂线，则这两个平面互相垂直；
(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．对于判定定理，可简述为“线面垂直，则面面垂直”．

[练习4]如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．
求证：平面ABM⊥平面A1B1M.
类型5二面角及其平面角的求法
[要点点击]确定二面角的平面角的方法
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．
(2)垂面法：过棱上一点作棱