人教版平面向量的数量积及平面向量的应用.doc

平面向量的数量积及平面向量的应用【知识梳理】1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cosθ，规定0·a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0【问题思考】1．若a·b＝a·c，则b＝c吗？为什么？提示：不一定．a＝0时不成立，另外a≠0时，由数量积概念可知b与c不能确定．2．等式(a·b)c＝a(b·c)成立吗？为什么？提示：(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．(a·b)c是c方向上的向量，而a(b·c)是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等．3．|a·b|与|a|·|b|的大小之间有什么关系？提示：|a·b|≤|a|·|b|.因为a·b＝|a||b|cosθ，所以|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a|·|b|.【基础自测】1．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选C∵(2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0，∴2|a||b|cosθ＋|b|2＝0.又∵|a|＝|b|，∴2cosθ＋1＝0，即cosθ＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3)，即a与b的夹角为120°.2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝()A．－1B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．1解析：选D∵a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1，∴2－x＝1，即x＝1.3．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，则|a＋2b|＝()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\r(5)D.eq\r(7)解析：选B|a＋2b|＝eq\r(a＋2b2)＝eq\r(|a|2＋4a·b＋4|b|2)＝eq\r(1＋4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋4)＝eq\r(3).4．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析：因为向量a，b为单位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝eq\f(1,2)，由b·c＝0，得b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0，所以eq\f(1,2)t＋(1－t)＝0，所以t＝2.5．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.解析：选向量的基底为，，则＝－，＝＋eq\f(1,2)，那么·＝·(－)＝2.【考点分析】【考点一】平面向量数量积的概念及运算[例1](1)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2)D．－eq\f(3\r(15),2)(2)如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝eq\r(2)，则·的值是________．[解](1)∵A(－1,1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3,4)，∴＝(2,1)，＝(5,5)，因此cos〈，〉＝＝eq\f(3\r(10),10)，∴向量在方向上的投影为||·cos〈，〉＝eq\r(5)×eq\f(3\r(10),10)＝eq\f(3\r(2),2).(2)以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(eq\r(2)，0)，E(eq\r(2)，1)，D(0,2)，C(eq\r(2)，2)．设F(x，2)(0≤x≤eq\r(2))，由·＝eq\r(2)⇒eq\r(2)x＝eq\r(2)⇒x＝1，所以F(1,2)，