数学归纳法ppt课件.ppt

§13.5数学归纳法要点梳理1.归纳法由一系列有限的特殊事例得出的推理方法叫归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为归纳法和归纳法.2.数学归纳法(1)数学归纳法：设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果①证明起始命题P1（或P0)成立；②在假设Pk成立的前提下，推出Pk+1也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立.(2)数学归纳法证题的步骤①(归纳奠基)证明当n取第一个值时,命题成立.②(归纳递推）假设(k≥n0,k∈N+)时命题成立，证明当时命题也成立.只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.基础自测1.用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1(a≠1)”在验证n=1时，左端计算所得的项为()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a32.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步检验第一个值n0等于()A.1B.2C.3D.0解析边数最少的凸n边形是三角形.3.如果命题p(n)对n=k成立，则它对n=k+2也成立.若p(n)对n=2成立，则下列结论正确的是()A.p(n)对所有正整数n都成立B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立D.p(n)对所有自然数n都成立解析归纳奠基是：n=2成立.归纳递推是：n=k成立，则对n=k+2成立.∴p（n）对所有正偶数n都成立.4.某个命题与自然数n有关，若n=k(k∈N+)时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得()A.n=6时该命题不成立B.n=6时该命题成立C.n=4时该命题不成立D.n=4时该命题成立解析方法一由n=k(k∈N+)成立,可推得当n=k+1时该命题也成立.因而若n=4成立，必有n=5成立.现知n=5不成立，所以n=4一定不成立.方法二其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立，则当n=k时也不成立”为真，故“n=5时不成立”“n=4时不成立”.5.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上()A.k2+1B.（k+1）2C.D.（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2解析∵当n=k时，左边=1+2+3+…+k2，当n=k+1时，左边=1+2+3+…+k2+（k2+1）+…+（k+1）2，∴当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2.题型一用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明:对任意的n∈N+,用数学归纳法证明的步骤为：①归纳奠基：验证当n=1时结论成立；②归纳递推：假设当n=k（k∈N+）时成立，推出当n=k+1时结论也成立.证明所以等式成立.(2)假设当n=k(k∈N+)时等式成立,即有所以当n=k+1时,等式也成立.由（1）（2）可知,对一切n∈N+等式都成立.用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n=k到n=k+1时等式的两边变化的项，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题得以证明.知能迁移1用数学归纳法证明：证明（1）当n=1时，等式左边等式右边所以等式成立.（2）假设n=k（k∈N+）时等式成立，那么当n=k+1时，即n=k+1时等式成立.由（1）（2）可知，对任意n∈N+等式均成立.题型二用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明an+1+(a+1)2n-1(n∈N+）能被a2+a+1整除.解（1）当n=1时，a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除.（2）假设n=k(k∈N+)时，ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，则当n=k+1时，ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=a·ak+1+a·(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1=a［ak+1+(a+1)2k-1］+(a2+a+1)(a+1)2k-1,由假设可知a［ak+1+(a+1)2k-1］能被a2+a+1整除，(a2+a+1)(a+1)2k-1也能被a2+a+1整除，∴ak+2+（a+1）2k+1也能被a2+a+1整除，即n=k+1时命题也成立，∴对任意n∈N+原命题成立.证明整除问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n=k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证.知能迁移2求证：（3n+1）×7n-1(n∈N+)能被9整除.证明(1)当n=1时,(3n+1)×7n-1=27能被9整除.(2)假设n=k(k∈N+)时命题成立，即(3k+1)×7k-1能被9整除，那么n=k+1时：［3(k+1)+1］×7k+1-1=［(3k+1)+3］×(1