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第7课时数学归纳法2011·考纲下载

1．了解数学归纳法的原理．
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.请注意！

1．归纳——猜想——证明仍是高考重点．
2.与函数、数列、不等式等知识结合，在知识的交汇处命题是热点.课前自助餐教材回归65．F(n)是一个关于自然数n的命题，若F(k)(k∈N*)是真命题，则F(k＋1)是真命题，现已知F(7)是假命题，则有：①F(8)是假命题；②F(8)是真命题；③F(6)是假命题；④F(6)是真命题；⑤F(5)是假命题；⑥F(5)是真命题．其中真命题的是()
A．③⑤B．①②
C．④⑥D．③④
答案A
解析用反证法，假设F(6)真，则F(7)真，与已知矛盾；假设F(5)真，则F(6)真，进而F(7)真，与已知矛盾．题型一证明等式910探究1用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．
由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．12题型二证明不等式问题探究2用数学归纳法证明不等式时．①是要弄清命题的变化，②是要注意应用放缩技巧．15题型三归纳——猜想——证明下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝2，等式成立．
②假设当n＝k时等立成立，即ak＝(k－1)λk＋2k，那么ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k＝λ(k－1)λk＋λ2k＋λk＋1＋2k＋1－λ2k
＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1.即当n＝k＋1时等式也成立，根据①和②可知，等式对任何n∈N*都成立．

探究3“归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．18
运用数学归纳法时易犯的错误
(1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错．
(2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了．
(3)关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性．课时作业（三十八）