线性规划的有关概念及图解法.pdf

3.3.2简单的线性规划问题第1课时线性规划的有关概念及图解法学习目标1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.x＋2y≤8，4x≤16，引例已知x，y满足条件4y≤12，①x≥0，y≥0.该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x＋3y②的最大值.以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念.知识点一线性约束条件及目标函数1.在上述问题中，不等式组①是一组对变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件.2.在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数.因为它是关于变量x，y的一次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数.知识点二线性规划问题一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.知识点三可行解、可行域和最优解满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解.在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使②式取最大值的可行解称为最优解.1.可行域内每一个点都满足约束条件.(√)2.可行解有无限多个，最优解只有一个.(×)3.不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.(×)类型一最优解问题命题角度1问题存在唯一最优解x＋2y≤8，4x≤16，例1已知x，y满足约束条件4y≤12，x≥0，y≥0，该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x＋3y的最大值.考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值解设区域内任一点P(x，y)，z＝2x＋3y，2z则y＝－x，3＋32z这是斜率为－，在y轴上的截距为的直线，如图.33由图可以看出，2zz当直线y＝－x经过直线x＝4与直线x＋2y－8＝0的交点M(4,2)时，截距的值最大，3＋33此时2x＋3y＝14.反思与感悟图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤(1)确定线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出可行域；(3)平移——平移目标函数对应的直线z＝ax＋by，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.跟踪训练1已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围.考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值1≤x＋y≤5，解作出二元一次不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分所示)即为可行－1≤x－y≤3域.21设z＝2x－3y，变形得y＝xz3－3，2则得到斜率为，且随z变化的一组平行直线.31－zy3是直线在轴上的截距，当直线截距最大时，z的值最小，由图可知，当直线z＝2x－3y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小.x－y＝－1，解方程组得A点坐标为(2,3)，x＋y＝5，∴z＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.min当直线z＝2x－3y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最大.x－y＝3，解方程组得B点坐标为(2，－1).x＋y＝1，∴z＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7.max∴－5≤2x－3y≤7，即2x－3y的取值范围是[－5,7].命题角度2问题的最优解有多个x－y≥0，例2已知x，y满足约束条件x＋y≤2，若目标函数z＝ax＋y的最大值有无数个最优解，y≥0，求实数a的值.考点线性规划中的参数问题题点无数个最优解问题解约束条件所表示的平面区域如图(阴影部分)，由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.当a＝0时，最优解只有一个，过A(1,1)时取得最大值；当a＞0，y＝－ax＋z与x＋y＝2重合时，最优解有无数个，此时a＝1；当a<0，y＝－ax＋z与x－y＝0重合时，最优解有无数个，此时a＝－1.综上，a＝1或a＝－1.反思与感悟当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重合，则此边界上所有点均为最优解.跟踪训练2给出平面可行域(如图阴影部分所示)，若使目标函数z＝ax＋y取最大值的最优解有无穷多个，则a等于()135A.B.C.4D.453考点线性规划中的参数问题题点无数个最优解问题答案B5－2解析由题意知，当直线y＝－ax＋z与直线AC重合时，最优解有无穷多个，则－a＝＝1－633－，即a＝，故选B.55类型二生活中的线性规划问题例3营养专家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.0