【答案】 2022 深圳中学自主招生数学试题(回忆版).pdf

2022年深圳中学自主招生数学试题（回忆版）参考答案一、数学填空题（第1–10题，每题4分，共40分）1.当ᵉ=ᵼᵽ时，√ᵉ−ᵽ+√ᵉ−ᵽ+√ᵉ−ᵽ+√ᵉ+ᵽ=___ᵽ___.ᵽ2.在△ᵆᵆᵆ中，∠ᵆ、∠ᵆ均为锐角，ᵂᵂᵂᵆ=ᵼᵽ
，ᵂᵁᵂᵆ=ᵽ，ᵆᵆ=ᵽᵽ，则△ᵆᵆᵆ的面积ᵇ=__ᵼᵽᵽ___.△ᵆᵆᵆ【提示】设ᵆᵆ边上的高ᵆᵆ长为ᵼᵼᵉ，则ᵆᵆ=ᵽᵽᵉ，ᵆᵆ=ᵽᵉ，ᵼᵼ故ᵆᵆ=ᵽᵽᵉ=ᵽᵽ，解得ᵉ=ᵼ，故ᵇ=ᵽᵽ×=ᵼᵽᵽ.△ᵆᵆᵆᵽᵈᵈᵈᵽ3.已知=ᵈ+ᵽ，=ᵈ−ᵽ.则=___ᵽ___.ᵈᵈ(ᵈ−ᵽ)ᵽ【提示】将两式相乘得，ᵈᵽ−ᵽ=ᵼ，即ᵈᵽ=ᵽ.再由第二个式子，所求的值即为ᵈᵽ.4.定义：(ᵂ)ᵉ⊗ᵉ=(ᵉ−ᵼ)⊗(ᵉ−ᵼ)+ᵉ+ᵉ；(ᵂᵂ)ᵉ⊗ᵼ=ᵼ.则(ᵽᵼ⊗ᵽ)⊗ᵽ=___ᵽᵽ___.【提示】根据所给的两个递推关系式，有ᵽᵼ⊗ᵽ=ᵼᵽ⊗ᵼ+ᵽᵼ+ᵽ=ᵼ+ᵽᵽ=ᵽᵽ
，进而，ᵽᵽ
⊗ᵽ=ᵽᵽ⊗ᵼ+ᵽᵽ
+ᵽ=ᵼ+ᵽᵽ=ᵽᵽ.ᵼᵼᵼᵽᵉ=ᵉ+ᵉ5.已知ᵉ，ᵉ为非零实数，且满足{ᵼᵼᵼᵽ
，则|ᵉ−ᵉ|所有值之和为__ᵽᵽ__.ᵉ=ᵉ+ᵉᵼᵼᵼᵽᵼᵼᵼᵽ
ᵼᵼᵼᵽᵼᵼᵼᵽ
【提示】将两式相加得，+=ᵼ，故设=−=ᵈ，ᵉᵉᵉᵉᵼᵼᵼᵽᵼᵼᵼᵽ
ᵼᵼᵼᵽᵼᵼᵼᵽ
则ᵉ=，ᵉ=−.代回原方程组得=−+ᵈ，ᵈᵈᵈᵈᵼᵼᵼᵽᵼᵼᵼᵽ
ᵽᵼᵽᵽ解得ᵈᵽ=ᵽᵼᵽᵽ.故|ᵉ−ᵉ|=|+|==ᵽᵽ.ᵈᵈ|ᵈ|1ᵈ+ᵈᵈ+ᵈᵈ+ᵈ6.已知ᵈᵽ+ᵈᵽ+ᵈᵽ=(ᵈ+ᵈ+ᵈ)ᵽ，则+++ᵼᵼᵼ=___ᵽᵽ___.ᵈᵈᵈ【提示】由ᵈᵽ+ᵈᵽ+ᵈᵽ=(ᵈ+ᵈ+ᵈ)ᵽ展开得，ᵈᵈ+ᵈᵈ+ᵈᵈ=ᵼ，再除以ᵈᵈᵈ得，ᵼᵼᵼᵈ+ᵈᵈ+ᵈᵈ+ᵈᵈ+ᵈ+ᵈᵈ+ᵈ+ᵈᵈ+ᵈ+ᵈ++=ᵼ.另一方面，++=++−ᵽ
=ᵈᵈᵈᵈᵈᵈᵈᵈᵈᵼᵼᵼ(ᵈ+ᵈ+ᵈ)(++)−ᵽ
=−ᵽ
.ᵈᵈᵈᵼᵼ7.直线ᵉ=ᵉ+ᵈ与ᵉ=ᵉ+ᵈ交于点(ᵽᵽ,ᵽᵽ
)，则ᵈ+ᵈ=___ᵽᵼ___.ᵼᵽᵼᵽᵼ【提示】将两直线的方程式相加得，ᵉ+ᵉ=(ᵉ+ᵉ)+(ᵈ+ᵈ).ᵼᵽᵼᵽᵼᵽ故ᵈ+ᵈ=(ᵉ+ᵉ)=(ᵽᵽ+ᵽᵽ
)=ᵽᵼ.ᵼᵽᵼᵽ8.如图，矩形ᵆᵆᵆᵆ中，ᵆᵆ=ᵼᵽᵽ，ᵆᵆ=ᵽᵽ，ᵆᵆ平分ᵈ∠ᵆᵆᵆ，设ᵆ到ᵆᵆ的距离为，其中ᵈ和ᵈ是互质ᵈ的正整数，则ᵈ+ᵈ=___ᵽᵽ
___.【提示】面积法。首先由勾股定理求出ᵆᵆ=ᵆᵆ=ᵼᵽ
×ᵼᵽ
.作ᵆᵆ⊥ᵆᵆ，并设ᵆᵆ=ᵆᵆ=ᵉ，由ᵆᵆ=ᵆᵆ−ᵆᵆ=ᵆᵆ−ᵆᵆ=ᵼᵽ
×ᵽ，然后在直角△ᵆᵆᵆ中运用勾股定理得，ᵉᵽ+(ᵼᵽ
×ᵽ)ᵽ=(ᵼᵽ
×ᵼᵽ−ᵉ)ᵽ，ᵼᵼ解得（这也可直接由角平分线定理得出），ᵉ=ᵼᵽ
×.ᵽ
ᵆᵆ∙ᵆᵆᵼᵼ×ᵽᵽᵼ再由面积关系，ᵽᵇ=ᵆᵆ∙ᵆᵆ=ᵆᵆ∙ᵈ，得ᵈ===.△ᵆᵆᵆᵆᵆᵽ
ᵽ
9.如图，在正方形ᵆᵆᵆᵆ中，ᵇᵆ=ᵼ，ᵇᵆ=ᵽ，ᵇᵆ=ᵽ
，则∠ᵆᵇᵆ的度数为___ᵼᵽ
ᵽ___.【提示】将△ᵆᵆᵇ绕ᵆ点逆时针旋转ᵽᵼᵀ得△ᵆᵆᵆ，易知△ᵆᵆᵇ是等腰直角三角形，进而得ᵆᵇ=ᵽ√ᵽ，再由ᵆᵆ=ᵼ及ᵇᵆ=ᵽ
可知∠ᵇᵆᵆ=ᵽᵼᵀ，故∠ᵆᵇᵆ=∠ᵆᵆᵆ=ᵼᵽ
ᵽᵀ.10.（暂缺）二、数学填空题（第11–15题，每题6分，共30分）11.若ᵉ−ᵼ.ᵽ不是整数，令[ᵉ]为最接近ᵉ的整数，如[ᵽ.ᵽ]=ᵽ，[ᵽ.ᵽ]=ᵽ
.则[√ᵼ×ᵽ]+[√ᵽ×ᵽ
]+[√ᵽ
×ᵽ]+⋯+[√ᵽᵽ×ᵽᵽ
]=___ᵽᵽᵽ
___.2ᵼᵽᵼᵼ【提示】考虑通项式：√ᵈ(ᵈ+ᵼ)=√(ᵈ+)−<ᵈ+，故有[√ᵈ(ᵈ+ᵼ)]=ᵈ.ᵽᵽᵽ于是原式等于ᵼ+ᵽ+⋯+ᵽᵽ=ᵽᵽᵽ
.ᵼ12.定义：ᵈ(ᵉ)=，则ᵈ(ᵼ)+ᵈ(ᵽ
)+⋯+ᵽ
ᵽ
ᵽ
√ᵉᵽ+ᵽᵉ+ᵼ+√ᵉᵽ−ᵼ+√ᵉᵽ−ᵽᵉ+ᵼᵈ(ᵽᵈ−ᵼ)+ᵈ(ᵽᵽᵽ)=___ᵽ___.【提示】由公式：ᵈᵽ
−ᵈᵽ
=(ᵈ−ᵈ)(ᵈᵽ+ᵈ