《实变函数》教学大纲.pdf

《实变函数》课程教学大纲课程名称实变函数/Theoryoffunctionofrealvariables课程编码10010500210课程类型专业选修课数学与应用数学（教师课程性质专业主干课适用范围教育）专业学分数4先修课程数学分析学时数72实验/实践学时无课外学时无考核方式考试一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务实变函数论是数学专业的一门必修课程，它是重要的数学分支，它所讨论的测度结构是数学的四大结构之一。实变函数在概率论、泛函分析、偏微分方程、计算数学、近代物理都有广泛的应用。本课程的任务是使学生掌握近代分析的基本思想，加深对数学分析的理解，培养学生的数学素质，为进一步学习近代数学理论打下初步基础。（二）课程教学的目的和要求通过本课程的学习,使学生较好地掌握实变函数论的基本思想、理论和方法，为后继专业课程、为进一步学习近代数学理论打下良好基础。1．掌握－集合的运算,集合的势,可数集合,连续势;开集，闭集;可测集定义、运算性质,测度的性质,可测集的结构;可测函数及其性质,依测度收敛，Riese定理,Egoroff定理,可测函数的结构,Lebesgue积分的定义、性质,积分的极限定理,R积分与L积分的关系，R可积的新的充要条件.2．理解－不可测集,Rn中可测集上的可测函数，多元函数的Lebesgue积分,乘积测度,Fubini定理,单调函数的可微性,Lp空间的定义.3．了解－半序集，选择公理与Zorn引理,用内外测度相等定义可测集，两种可测集定义的等价性,L-S测度与L-S积分,有界变差函数的连续性与可导性,有界变差函数与绝对连续函数,Lp空间中的收敛概念.（三）课程教学方法与手段本课程采用讲授、习题课和自学相结合的方法.老师讲授百分之八十的基本内容,其余内容由学生自学、教师辅导.（四）课程与其他课程的联系实变函数论是数学分析的后继课程,也涉及线性代数的知识,因而先修课程有：数学分析、高等代数和解析几何.泛函分析，现代概率论、现代偏微分方程理论、计算数学理论等课程在本课程后开设.（五）教材与教学参考书教材：曹广福,《实变函数论与泛函分析》上册,高等教育出版社，2004年教学参考书：1、周民强,《实变函数》,北京大学出版社，1995年6月2、程其襄等,《实变函数与泛函分析基础》,高等教育出版社，1999年6月3、郑维行等,《实变函数与泛函分析概要》,高等教育出版社，2005年4、夏道行等,《实变函数论与泛函分析》，高等教育出版社，1985年6月二、教课程的教学内容、重点和难点第一章集合教学内容：集合的定义及其运算,集合序列的上、下限集,域与－域，势的定义与Bernstein定理,可数集合,连续势,p进位表数法,聚点,内点,边界点,Bolzano-weirstrass定理,开集,闭集,完全集,直线上点集重点：集合及其运算,集合的势,可数集合,不可数集合,聚点，内点，边界点,开集，闭集，完全集，Cantor三分集难点：集列的上、下极限集,集合的基数问题的证明.正确理解、运用聚点等基本概念和有关定理第二章测度论教学内容：外测度,可测集及其性质，开集的可测性,Lebesgue可测集的结构重点：可测集定义及运算性质,测度的性质,可测集的结构难点：可测集的概念、可测集结构的理解和应用第三章可测函数教学内容：可测函数的定义,可测函数的性质,Egoroff定理,Lusin定理,依测度收敛重点：可测函数定义及其性质，可测函数的结构，可测函数的收敛难点：依测度收敛,可测函数各种收敛的关系第四章积分理论教学内容：有界可测函数积分的定义及其性质,Lebesgue积分的性质,一般可测函数的积分,Riemann积分与Lebesgue积分的关系,非负可测函数积分的极限,控制收敛定理,乘积空上测度,Fubini定理,有界变差函数的连续性与可导性,有界变差函数与绝对连续函数,Lp空间的定义,Lp空间中的收敛概念重点：Lebesgue积分的定义、性质,积分的极限定理,R积分与L积分的关系，R可积的新的充要条件,Lp空间的定义难点：积分的极限定理理解及应用,Fubini定理,有界变差函数的连续性与可导性,Lp空间中的收敛概念三、学时分配教学内容各教学环节学时分配采用何种章节主要内容讲实讨习课其小多媒体教授验论题外它计学手段一集合16318部分内容采用PPT二测度论12214同上三可测函数13216同上四Lebesgue积分20424同上合计611172