实变函数论教学大纲.doc

实变函数论教学大纲
学分数4周学时4
一、说明
1、课程名称：实变函数论（一学期课程）
学时：4×18
2、教学目的和要求
（1）课程性质：本课程是数学系基础课，为数学系本科学生所必修。
（2）基本内容：本课程主要是以n维Euclid空间及其上实值函数为背景，运用点集分析的方法建立测度与积分的理论，具体内容包括：集合、映射，Rn中点集的拓朴，可测集和可测函数，积分理论，微分和不定积分。
（3）基本要求：通过本课程的学习，学生应熟练掌握关于可测集、可测函数的概念和性质，深刻理解并掌握Lebesgue积分的理论，并在学习过程中形成抽象思维能力和逻辑推理能力的一个飞跃。
3、教学方式：课堂讲授+习题课训练
4、考试方式：闭卷笔试
5、教材：《实变函数论》，曹广福编，高等教育出版社，2000年
参考书：《实变函数论》，周民强，北京大学出版社。
二、讲授纲要（其中学时数不包括习题课时间）
第一章集合和Rn中的点集（12学时）
§1集和集的运算（2学时）
§2映射和势（6学时）
§3Rn中的点集（4学时）
本章教学要求
熟练掌握集合的代数运算和极限运算，能应用Bernstein定理确定一些集合势，熟悉Rn的点集拓扑中关于开集、闭集、稠密与疏朗等基本概念。
第二章测度（18学时）
§1外测度与可测集（6学时）
§2测度及其性质（6学时）
§3可测集类（6学时）
本章教学要求：
掌握外测度的概念，正确理解Caratheudory条件，熟练掌握测度及其性质，熟悉一些重要的可测集类，理解不可测集的典型例子。

第三章可测函数（14学时）
§1可测函数及其基本性质（6学时）
§2可测函数列的收敛（6学时）
§3Lebesgue可测函数的结构（2学时）
本章教学要求：
熟练掌握可测函数的概念及其基本性质，正确理解并掌握可测函数列几种不同收敛的概念，通过对本章中几个基本定理证明过程的分析，深刻领会实分析中的点集分析方法。
第四章积分（20学时）
§1积分的基本概念及性质（10学时）
§2积分的极限定理（8学时）
§3一般集上的测度和积分简介（2学时）
本章教学要求：
正确掌握积分的定义及其基本性质，牢固掌握并能熟练应用积分的Levi定理，Fatou定理，Lebesgue控制收敛定理，掌握乘积测度和重积分的概念，了解一般集上的测度和积分理论概要。
三、附注
本课程可选择采用两种方案讲授，其一是直接建立一般的测度和积分理论，以Lebesgue测度与积分作为特例；其二是着重介绍Lebesgue测度和积分理论，而后简述一般测度论的结果，并引导有兴趣的学生自行深入讨论。