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实变函数课程教学大纲

一、课程说明：

1、课程性质：

本课程是数学系基础课，为数学系本科学生所必修，也是微积分的进
一步深化，这部分内容为学生进一步学习其它数学分支如泛函分析，函数

论，微分方程，概率论和科学研究提供必不可少的基础知识。

它是一学期课程，学时数的安排为：一学期68=174课时，其中习题

课17课时。2、本课程的教学目的与要求：

通过实变函数这一学科的学习，应使学生较好的掌握测度与积分这个
基本的数学工具，特别是极限与积分顺序的交换。并且在一定程度上掌握

集的分析方法。

通过这门学科的教学，要加强对学生的抽象思维能力，逻辑推理能力
的培养。在某些与中学教材相关的教学内容中，要引导学生在学习新知识
的同时要加深对相关的中学教材的内容及背景的理解，使他们在今后的教
学实践能用较高的观点处理中学教材。为培养成人师范学生较强的教学能

力打下坚实的基础。

3、先行或后继课程：

实变函数是第五学期开设的专业必修课。是在数学分析的基础上发展
而成，同时本课程又用到了高等代数和解几何中的一些基本知识。它的后

继课程课有概率统计、泛函分析、点集拓扑等。

4、教学时数分配表：
章节目录第一节．集合与子集合第二节．集合的运算第三节．映射与基数
第一章第四节．Rn中点与点之间的距离某点集的极限点集合n与点集第
五节．R中基本点集：闭集、开集、Borel集、Cantor集第六节．某连续
变换与可测集习题课第二章第一节．点集的Lebegue外测度课时分配
11421341(选学)415110

Lebegue第二节．可测集与测度441112测度第三节．可测集与Borel
集的关系第四节．正测度与矩体的关系第五节．不可测集第六节．某连续
变换与可测集习题课第一节．可测函数的定义及其性质484462462416第
三章第二节．可测函数列的收敛可测函数第三节．可测函数与连续函数的
关系习题课第一节．非负可测函数的积分第二节.一般可测函数的积分第

四章Lebegue第三节．可积函数与连续函的性质第四节.Lebegue积分与
Riemann积分的性质第五节.重积分与累次积分的关系习题课总课时数积

分685、使用教材：

普通高等教育“九五”教育部重点教材北京大学出版社，周民强编著

《实变函数论》。

6、教学方法与手段：

本课程可选择采用两种方案讲授，其一是直接建立一般的测度和积分

理论，以

Lebegue测度与积分作为特例；其二是着重介绍Lebegue测度和积分

理论，而后简

述一般测度论的结果，并引导有兴趣的学生自行深入讨论。

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知识点的理解。也可以帮助学生提高自学能力和解题能力，并开阔思

路。
7、考核方式：闭卷笔试。8、主要参考书目：

《实变函数论与泛函分析》,夏道行,严绍宗等人主编,高等教育出版

社。《实变函数》,将泽坚主编，高等教育出版社。

《实变函数论》，曹广福主编，高等教育出版社，2000年。

二、本课程内容：

第一章集合与点集

第一节（1课时）集合与子集合

1、教学目的和要求：理解集合的概念，分清集合的元与集合的归属

关系，集与集之间的包含关系的区别。

2、教学要点与知识点：集合的元素、集合的表示；集合的包含与相

等；空集;子集，真子集。介绍近代数学的基础-集合与映射等有关概念。

3、教学重点与难点：近代数学的基础-集合与映射等有关概念。第二

节（1课时）集合的运算

1、教学目的和要求：掌握集之间的交、差、余运算。掌握集列的上、

下限集的概念及其交并表示。

2、教学要点：集合的并、交、补、差、余运算；集合列的上极限集、
下极限集。3、教学知识点：集合的基本运算及集合列的上、下极限集、

域的概念。理解集列的收敛、单调集列的概念。

4、教学重点与难点：集合的基本运算及集合列的上、下极限集第三

节（4课时）映射与基数1、教学目的和要求：
掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。理解伯恩斯坦定理，
能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。理解可数集，不可数集的意

义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的

意义。2、教学知识点：

映射与一一映射、对等、Berntein定理；n维空间中开集的构造；可
数集的性质；常见的一些可数集，连续基数集合的基数的性质（无最大基

数定理）。

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建议课时安排（13学时）

3、教学要点：集合势的概念、Berntein定理；单调集列的收敛性。

4、重点与难点：Berntein定理及应用

第四节（2课时）R中点与点之间的距离某点集的极限点

1、教学目的和要求：熟练掌握Rn中点集，区间，领域与点之间的距
离、了解点集收敛、极限等概念。理解n维欧氏空间中极限概念主要依赖