条件概率的深化积事件的概率贝叶斯公式.pdf

条件概率的深化积事件的概率、全概率公式、贝叶斯公式山东省莱芜市第一中学刘志1.积事件的概率公式由条件概率定义P（B｜A）=P（AB）/P（A），P（A）＞0,两边同乘以P（A）可得P（AB）=P（A）P（B｜A），由此可得定理1（积事件的概率）设P（A）＞0，则有P（AB）=P（A）P（B｜A）易知，若P（B）＞0，则有P（AB）=P（B）P（A｜B）乘法定理也可推广到三个事件的情况，例如，设A，B，C为三个事件，且P（AB）＞0，则有P（ABC）=P（C｜AB）P（AB）=P（C｜AB）P（B｜A）P（A）一般地，设n个事件为A，A，…，A，若P（AA…A)＞0,则有12n12n-1P（AA…A）=P（A）P（A｜A）P（A｜AA）…P（A｜AA…A）.12n121312n12n-1事实上，由AAA…AA…A，有11212n-1P（A）≥P（AA）≥…≥P（AA…A）＞011212n-1故公式右边的条件概率每一个都有意义，由条件概率定义可知P（A）P（A｜A）P（A｜AA）…P（A｜AA…A)121312n12n-1P(AA)P(AAA)P(AAA)=P(A)1212312n=P(AA…A)1P(A)P(AA)P(AAA)12n11212n1例1.一批彩电，共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽一台，求第3次才抽到合格品的概率.解设A(i=1,2,3)为第i次抽到合格品的事件，则有iP(AAA)=P(A)P(AA)P(AAA)=10/100·9/99·90/98≈.12321312例2.设盒中有m只红球，n只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率.解设R(i=1,2,3,4)表示第i次取到红球的事件，R(i=1,2,3,4)表示第iii次取到白球的事件.则有P(RRRR)P(R)P(RR)P(RRR)P(RRRR)12341213124123mmknnk.mnmnkmn2kmn3k2.全概率公式定义，样本空间的划分：设Ω为样本空间，A，A，…，A为Ω的一组事件，12n若满足AAijijnn1°=?,≠,,=1,2,…,，2°A=Ω，ijii1则称A，A，…，A为样本空间Ω的一个划分.例如：A，A就是Ω的一个划12n分.若A，A，…，A是Ω的一个划分，则对每次试验，事件A，A，…，A中12n12n必有且只有一个发生.定理2（全概率公式）设B为样本空间Ω中的任一事件，A，A，…，A12n为Ω的一个划分，且P（A)＞0(i=1,2,…,n)，则有iP(B)=PB(AAA)=P(BABABA)=P(BA)P(BA)P(BA)=P12n12n12nAPBAPAPBAPAPBAn（）（｜）+（）（｜）+…+（)(｜)=P(A)P(BA).1122nniii1n即：P(B)=P(A)P(BA).称上述公式为全概率公式.iii1全概率公式表明，在许多实际问题中事件B的概率不易直接求得，如果容易找到Ω的一个划分A，…，A，且P（A）和P（B|A）为已知，或容易求得，就1nii可以求出P（B）.例3、（导学案变式3）1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问(1)从1号箱中取出的是红球的条件下,从2号箱取出红球的概率是多少(2)从2号箱取出红球的概率是多少分析：从2号箱取出红球,有两种互斥的情况:一是当从1号箱取出红球时,二是当从1号箱取出白球时.,解记事件3A：最后从142号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红(1)P(A|B).819球.2411(2)P(A)P[A(BB)]P(AB)P(AB)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)3933811127927例4.从5张彩票中仅有2张中奖彩票，问摸奖先后对结果有影响吗2解：记“第i个人抽中奖券”为事件A显然P(A)i15而P(A)P[A(AA)]P(AA)P(AA)22112121213282P(AA)P(AA)P(A)P(A|A)P(A)P(A|A)21211211215454205P(A)P[A(AAAAAAAA)]3312121212P(AAA)P(AAA)P(AAA)P(AAA)312312312312P(A)P(A|A)P(A|AA)P(A)P(A|A)P(A|AA)121312121312P(A)P(A|A)P(A|AA)P(A)P(A|A)P(A|AA)1213121213122123132132