高等数学(工本)-1.pdf

高等数学(工本)-1(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}单项选择题{{/B}}(总题数：5，分数：15.00)1.级数()（分数：3.00）A.发散B.收敛于√C.收敛于0D.收敛于解析：该级数是公比的等比级数，且．故该级数收敛，且和为2.f(x，y)在平面闭区域D上有界是二重积分存在的()（分数：3.00）A.必要非充分的条件√B.充分非必要的条件C.必要充分的条件D.既非必要也非充分的条件解析：由二重积分的定义即可得此结论．3.在Oxy坐标面上，设e为单位向量，o为零向量，则()（分数：3.00）A.e·o=0B.e·e=eC.e×o=0√D.e×e=e解析：，由定义(模为零的向量为零向量)故e×o=0，故选C．又|e×e|=|e|·|e|sin(e，e)=0，∴e×e=e是错误的．另外两个向量的数最积是一个数量，从而e·o=0和e-e=e都是错误的．4.设AB为从点A(1，0)沿曲线到点B(0，1)的弧段，则下列等式正确的是()D．，其中的f(x，Y)是连续函数，f(x，y)、f(x，y)是有连续的偏导数的函数12（分数：3.00）A.√B.C.D.解析：如果将L的参数方程表示为于是B应为C应为D不正确，因为未必与积分路径无关．5.设f(x+y，xy)=x2+Y2，则f(x，y)=()（分数：3.00）A.x2-2xyB.y2-2xC.y2-2xyD.x2-2y√解析：∵f(x+y，xy)=x2+y2=(x+y)2-2xy∴f(x，y)=x2-2y二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：5，分数：10.00)6.二重极限=1．（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：0）解析：当x＞0，y＞0时，，从而，由于=0∴7.设z=(1+xy)x，则=1．（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：1+2ln2）解析：令1+xy=u，x=v，则∴·y+uvlnu·1=x(1+xy)x-1+(1+xy)x·ln(1+xy)∴8.二次积分=1．（分数：2.00）解析：9.级数的和为1．（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：1）解析：记，所以10.微分方程e-xdy+e-ydx=0的通解为______．（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：ex+ey=C）解析：由e-xdy+e-ydx=0分离变量得eydy=-exdx．两端积分得ey=-ex+C即ex+ey=C三、{{B}}计算题{{/B}}(总题数：12，分数：60.00)11.已知a={1，1，-4}，b={1，-2，2}，求(1)a·b；(2)a与b的夹角；(3)a在b上的投影ab．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：(1)a·b=1×1+1×(-2)+(-4)×2=-9(2)设夹角为φ，那么(3)a·b=|a|·|b|cosφ=|b|a∴a在b上的投影为b12.求曲面x2+y2+z2=25上点(2，3，)处的切平面和法线方程．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：令F(x，y，z)=x2+y2+z2-25，则F=2x，F=2y，F=2zxyz从而故取法向量，于是切平面方程为即法线方程为13.求函数u=x3+2y2+3z2+xy-xz在点(1，1，1)处的梯度．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：故gradu(1，1，1)={3，5，5}14.函数z=z(x，y)由方程x+2y+z-=0所确定，求．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：令，则故15.求f(x，y)=(4x-x2)(2y-y2)的极值．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(