自考高等数学(工本)讲稿.pdf

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自考高等数学
(工本)讲稿

目录

1.函数与极限

2.导数与微分

3.不定积分

4.定积分及其应用

5.第一章空间解析几何与向量代数

6.第二章多元函数的微分学

7.第三章重积分

8.第四章曲线积分与曲面积分

9.第五章常微分方程

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函数与极限
一、函数
(一)几个概念

1、邻域：点a的δ邻域--Ua(,δ)，点a的δ去心邻域--Ua(,δ)。

2、函数的有界性：X⊂∃>∀∈DM,0,,|()|xXfx<M.

3、单调性4、奇偶性5、周期性(最小正周期)
6、反函数(求反函数的步骤，关于yx=对称)
(二)基本初等函数
q
±
μpx
幂函数y==xx，指数函数y=a，对数函数y=logax，三角函数sinx,cosx,tanx,
cotx,secx,cscx，反三角函数arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx。
sin(x)cos(x)
11

0.50.5

00

-0.5-0.5

-1-1
-2-101201234
tan(x)cot(x)
55

00

-5-5
-1.5-1-0.500.511.500.511.522.53

sec(x)csc(x)
1010
55

00
-5-5

-10-10
-1012340123456
arcsin(x)arccos(x)
3
1
2
0
1
-1
0
-1-0.500.51-1-0.500.51

1
arctan(x)arccot(x)
3
1
2
0
1
-1
0
-10-50510-10-50510

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合运算的所构成并可用一个式子表示的函
数称为初等函数。
(三)常用公式

bb
aa⎛⎞c
、幂指对公式：bbb；；bcbc+；bbc
1(1)ac⋅=()ac(2)b=⎜⎟(3)aai=a(4)(aa)=
cc⎝⎠

clogcbblogab
(5)logaabc=logb；(6)logab=；(7)logaab=；(8)ab=
logca

3、三角公式
●三角函数基本关系
sinαcosα
(1)sin22αα+cos=1；(2)tanα=；(3)cotα=；(4)tanαicotα=1；
cosαsinα

(5)sinαcscα=1；(6)cosαsecα=1；(7)sec22αα−tan=1；(8)csc22αα−cot=1

●三角公式其它重要公式
sin()α±=βαβαsincos±cossinβcos(α±=βαβα)coscos∓sinsinβ

tanα±tanβα+βα−β
tan()αβ±=sinαβ+=sin2sincos
1∓tanαanβ22

α+−βαβα+βα−β
sinαβ−=sin2cossincosαβ+=cos2coscos
2222

α+βα−β1
cosαβ−=−cos2sinsinsinαsinβαβα=−⎡cos()(+−cos−β)⎤
222⎣⎦

11
cosαcosβαβα=++−⎡⎤cos()(cosβ)sinαcosβαβα=−⎡sin()(++sin−β)⎤
2⎣⎦2⎣⎦

cos2ααα=cos22−=sin2cos2α−1
2tanα
2
sin2ααα==2sincos21tan−α
1tan+α=−12sin2α=
1tan+2α

2tanαα1cos−α
tan2α=sin=±
1tan−2α22

2
α1cos+αα1−−cosαα1cossinα
cos=±tan=±==
2221cossin1cos++ααα
1cos2−α1cos2+α
sin2α=cos2α=
22
二、极限
1、无穷小：极限为0的变量称为无穷小
运算法则：(1)有限个无穷小相加是无穷小
(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小
●有极限的变量与无穷的乘积是无穷小
●常数与无穷的乘积是无穷小
●有限个无穷小的乘积是无穷小
2、无穷小与函数极限的关系：limf(xA)=⇔fxAx()=+α()⇔fxA()−=α(x)
xx→0

3、极限存在准则：(1)夹逼准则：xnn≤≤yzn

(2)单调有界准则
sinxπ
4、两个重要极限：(1)lim=1，x∈(0,)，sinx<xx<tan
x→0x2
1
(2)lim(1+=x)