附录Ⅰ平面图形的几何性质.ppt

附录Ⅰ平面图形的几何性质若Sz=0和Sy=0，则yC=0和zC=0。可见，若图形对某轴的静矩等于零，则该轴必通过图形的形心；反之，若某轴通过图形的形心，则图形对该轴的静矩必等于零。当一个平面图形是由若干个简单图形（例如矩形、圆形、三角形等）组成时，根据静矩的定义，组合图形对某轴的静矩应等于其各组成部分对该轴静矩之和，解:取平行于z轴的狭长条作为微面积dA，则例Ⅰ-2确定图Ⅰ-3所示L形平面图形的形心C的位置。解:将图形看作是由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成的，选取坐标系如图所示，每一矩形的面积和形心坐标分别为第二节惯性矩和惯性积（2）惯性积等于零:图形对包含对称轴的任一对正交轴的惯性积必为零。例Ⅰ-3试求图示矩形截面图形对其形心轴z、y的惯性矩Iz、Iy。解:取与z轴平行的狭长条（图中阴影线部分）为微面积，则dA=bdy。矩形截面对z轴的惯性矩为解:在圆形截面上距圆心为ρ处取宽度为dρ的圆环为微面积，则dA=2πρdρ，圆形截面对圆心的极惯性矩为同理可得圆环截面对圆心的极惯性矩为惯性半径:图形对某轴的惯性矩与图形面积之比的平方根，称为图形对该轴的惯性半径，用i表示，第三节平行移轴公式例Ⅰ-5试求图示T形截面图形对其形心轴zC的惯性矩IzC。（3）计算组合图形对形心轴的惯性矩IzC。例Ⅰ-6试求图示三角形OBD对z、y轴和形心轴zC、yC的惯性积Izy、IzCyC。第四节转轴公式因此第五节主惯性轴和主惯性矩过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。图形对于对称轴的惯性积等于零，而形心又必然在对称轴上，所以图形的对称轴就是形心主惯性轴。如果这里讨论的平面图形是杆件的横截面，则截面的形心主惯性轴与杆件轴线所确定的平面，称为形心主惯性平面。纵向对称面就是形心主惯性平面。非对称纯弯曲：若梁没有对称轴,但y、z轴为其形心主惯性轴。当纯弯曲外力偶矩作用于形心主惯性平面xy内时，以z轴为中性轴，公式σ=Ey/ρ，仍能满足所有静力平衡方程。即这种情况下仍能用公式σ=My/Iz计算横截面上的应力。确定组合图形形心主惯性轴位置和形心主惯性矩步骤：(1)确定组合图形的形心位置。(2)计算组合图形对形心轴的惯性矩和惯性积。(3)确定组合图形的形心主惯性轴和计算形心主惯性矩。例Ⅰ-7试确定图示Z形截面图形的形心主惯性轴的位置，并计算形心主惯性矩。解(1)确定图形形心位置。因图形是反对称的，故形心在对称中心O点。(2)求对形心轴z、y的惯性矩和惯性积。为此，将图形分割为三个矩形，则整个图形对z、y轴的惯性矩和惯性积为（3）确定形心主惯性轴位置。（4）计算形心主惯性矩。