常微分方程数值解法省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件.pptx
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第九章常微分方程数值解法/*NumericalMethodforOrdinaryDifferentialEquations*/对于初值问题,假如在以下区域内连续:初值问题解析解及其数值解几何意义:§2Euler方法若将在点处进行Taylor展开解:常微分方程数值解法稳定性比如,对于向前Euler法:单步方法局部误差和阶其中为自然数,则称该方法是阶或含有阶精度。Euler方法误差分析设关于和均满足Lipschitz条件,即其中注意到对于初值问题,假如关于满足一、Runge-Kutta方法基本思想比较
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常微分方程数值解求解过程顺着节点排列次序一步步向前推进,即按递推公式由已知y0,y1,…yi,求出yi+1。例:用欧拉法解初值问题取步长h=0.2.计算过程保留4位小数.解:f(x,y)=-y-xy2,h=0.2,由欧拉公式得故y(0.2)y1=0.2×1(4-0×1)=0.8000y(0.4)y2=0.2×0.8×(4-0.2×0.8)=0.6144y(0.6)y3=0.2×0.6144×(4-0.4×0.4613)=0.8000欧拉公式改进:梯形公式/*trapezoidformula*/
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第十章问题驱动:蝴蝶效应§1引言一、初值问题数值解法(2)普通结构方法:离散点函数值集合+线性组合结构→近似公式(3)怎样确保迭代公式稳定性与收敛性?称在区域D上对满足Lipschitz条件是指:二、初值问题解存在唯一性求函数y(x)在一系列节点a=x0<x1<…<xn=b处近似值方法称为微分方程数值解法。三、初值问题离散化方法§2欧拉方法/*Euler’sMethod*/欧拉法局部截断误差:例1:用欧拉公式求解初值问题可用来检验近似解准确程度。欧拉公式改进:普通先用显式计算一个初值,再迭代求解。梯
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常微分方程基础知识一、微分方程基本概念热力学基本规律热量总是从温度高物体向温度底物体传导。在一定温度范围内,一个物体温度改变速度与这个物体温度和其所在介质温度差值成百分比。b.基本概念常微分方程OrdinaryDifferentialEquation(ODE)偏微分方程PartialDifferentialEquation(PDE)方程阶数(未知函数最高阶导数阶)通解和特解假如一个函数用以代替微分方程中未知函数能使该方程成为恒等式,那么就说这个函数是微分方程一个解.微分方程解普通表示式称为通解.一个n阶方
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第6章常微分方程数值解法§1引言实际求解常微分方程,大多是定解问题┉┉满足指定条件特解方程准确解y(x)称为积分曲线。方程是否有解,解是否唯一?定理1对初值问题(6-1)(6-2),若f(x,y)在区域G={a≤x≤b,|y|<∞}内连续,且关于y满足李普希兹条件,即存在常数L,使|f(x,y1)-f(x,y2)|≤L|y1-y2|(6-3)对G中任意两个y1,y2均成立,其中L是与x,y无关常数,则初值问题(6-1)(6-2)在(a,b)内存在唯一解,且解是连续可微。设f(x,y)在带形区域R:{a≤x