常微分方程数值解法省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

第6章常微分方程数值解法§1引言实际求解常微分方程，大多是定解问题┉┉满足指定条件特解方程准确解y(x)称为积分曲线。方程是否有解，解是否唯一？定理1对初值问题(6-1)(6-2)，若f(x,y)在区域G={a≤x≤b,|y|＜∞}内连续，且关于y满足李普希兹条件，即存在常数L，使|f(x,y1)-f(x,y2)|≤L|y1-y2|（6-3）对G中任意两个y1,y2均成立，其中L是与x,y无关常数，则初值问题(6-1)(6-2)在(a,b)内存在唯一解，且解是连续可微。设f(x，y)在带形区域R：｛a≤x≤b，-∞＜y＜+∞｝上为x，y连续函数，且对任意y满足李普希茨(Libusize)条件｜f(x，y1)-f(x，y2)｜≤L｜y1-y2｜其中(x，y1)、(x，y2)∈R，L为正常数。上准确解y(x)近似值y0，y1，y2，…，yn图6.1数值解法重点不在于求准确解（即解析解），而是直接求一系列点上近似解。§2欧拉法和改进欧拉法再用yi近似地代替y(xi)，则初值问题(6-1)(6-2)就化为2．几何意义Oy(x)过点P0(x0,y0)，从P0出发以f(x0,y0)为斜率做一直线与直线x=x1交于点p1(x1,y1),显然有:y1=y0+hf(x0,y0),再从p1出发,以f(x1,y1)为斜率做一直线推进到x=x2上一点p2(x2,y2),依这类推,这么得到解曲线一条近似曲线,它就是折线p0p1p2……所以欧拉方法又叫欧拉折线法欧拉法是用yi经过yi+1=yi+hf(xi,yi)i=0,1,……求yi+1,这么利用y0┅>y1┅>y2┅……计算yi+1用前一步yi┅┅单步法计算yi+1用前几步｛yi-n｝┉┉多步法例1：用欧拉法求解方程xi二、欧拉方法误差分析我们来看在第i+1步使用欧拉方法所得yi+1局部截断误差y(xi+1)-yi+1y(xi+1)=y(xi+h)=y(xi)+hy′(xi)+y″(ξ)/2*h2yi+1=yi+hf(xi,yi)=y(xi)+hf(xi,y(xi))=y(xi)+hy′(xi)定义2(p147)三、改进欧拉法欧拉法即使形式简单，计算方便，但比较粗糙，精度也低。尤其当y=y(x)曲线曲率较大时，欧拉法效果更差。为了结构较高精度数值解法，对初值问题再做分析在上图也可利用不难发觉:欧拉公式yi+1=yi+hf(xi,yi)是关于yi+1显式，只要已知yi，经一次计算可马上得到yi+1值；而改进欧拉公式普通来说，这是一个非线性方程（除非f对y是线性），可用我们前面讲过非线性方程各种方法求解，比如用迭代法可证实其收敛，局部截断误差O(h3)例2:证实解常微分方程初值问题梯形方法精度是二阶证实:所以:四、预报-校正方法我们看到梯形法即使提升了精度，但其算法复杂，每算一点，都需进行重复迭代，为了控制计算量，通常只迭代一两次就转入下一步计算，以简化算法。详细地说，我们先用欧拉公式求一个初步近似值预报-校正公式例3用预报-校正公式求解初值问题表6―2预报-校正公式截断误差为O(h3)（证实，p150)预报-校正公式整体截断误差为O(h2)预报-校正公式是单步显式练习1:用Euler法解练习2:用改进Euler法（梯形公式）解练习3:用预报—校正方法求§3龙格库塔法得到一个微分方程数值计算公式，关键在求若用这种方法研究欧拉公式，能够发觉欧拉公式仅取一个点(xi,yi)斜率f(xi,yi)代替k*，梯形公式却是利用xi与xi+1两个点斜率值它也启发我们若设法在[xi,xi+1]上多找几个点斜率值，然后将它们加权平均作为K*近似值，则有可能结构出精度更高计算公式，这就是Runge-Kutta方法基本思想。于是得到普通公式二、Runge-Kutta公式由二元函数Taylor展开式有利用把它与式(6-16)比较，使它们前三项相等，得尤其地，取则(6-15)式恰好是预报-校正公式。如取三阶龙格-库塔公式为四阶龙格-库塔公式为例4用经典龙格-库塔法计算取步长h=0.2表6-3补充-----单步法收敛性和稳定性计算过程中舍入误差总是存在，以Euler法为例。假设，因为舍入误差影响，实际得到是…..由微分中值定理得:1.单步法收敛性补充定义1:设y(x)是初值问题(6.2)准确解,对单步法补充定义2：用单步法解模型方程得到解满足稳定性方程若,就称此方法是绝对稳定在复平面上,全部满足所围成区域称为方法绝对稳定区域.例5：求Euler法绝对稳定区间§6.4阿达姆斯方法对积分式分别采取矩形和梯形面积公式可得到欧拉公式和改进欧拉公式(梯形法)，截断误差分别为O(h2)和O(h3)。若追溯到数值积分原理，梯形法则实际上是用节点xi和xi+1线性插值函数代替f(x，y)而得到。为此，我们自然能够想到，若用更高次插值多项式来代替f(