数值分析常微分方程数值解法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第十章问题驱动：蝴蝶效应§1引言一、初值问题数值解法(2)普通结构方法：离散点函数值集合+线性组合结构→近似公式(3)怎样确保迭代公式稳定性与收敛性?称在区域D上对满足Lipschitz条件是指:二、初值问题解存在唯一性求函数y(x)在一系列节点a=x0<x1<…<xn=b处近似值方法称为微分方程数值解法。三、初值问题离散化方法§2欧拉方法/*Euler’sMethod*/欧拉法局部截断误差：例1:用欧拉公式求解初值问题可用来检验近似解准确程度。欧拉公式改进：普通先用显式计算一个初值，再迭代求解。梯形公式/*trapezoidformula*/中点欧拉公式/*midpointformula*/改进欧拉法/*modifiedEuler’smethod*/注:此法亦称为预测-校正法/*predictor-correctormethod*/在实际计算时，可将欧拉法与梯形法则相结合，计算公式为改进欧拉法截断误差例2:经过计算结果得比较能够看出，改进Euler方法§3龙格-库塔法/*Runge-KuttaMethod*/考查改进欧拉法，能够将其改写为：将改进欧拉法推广为：Step2:将K2代入第1式，得到要求，则必须有：为取得更高精度，应该怎样深入推广？考虑一阶常微分方程初值问题若n级显式Runge-Kutta方法二阶Runge-Kutta方法由此得其次改进Euler方法中点方法二阶Heun方法二级Runge-Kutta方法不超出二阶所以局部截断误差只能到达三级Runge-Kutta方法记又因为所以要使局部截断误差为，必须Kutta方法三阶Heun方法三级Runge-Kutta方法不超出三阶四级R-K方法局部截断误差为O(h5)附注：注：龙格-库塔法主要运算在于计算值，即计算值。Butcher于1965年给出了计算量与可到达最高精度阶数关系：§4单步方法收敛性与稳定性/*ConvergencyandStability*/解：该问题准确解为稳定性/*Stability*/定义我们称算法A比算法B稳定，就是指A绝对稳定区域比B大。例：考查显式欧拉法例：考查隐式欧拉法例：隐式龙格-库塔法而显式1~4阶方法绝对稳定区域为