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常微分方程基础知识一、微分方程基本概念热力学基本规律 热量总是从温度高物体向温度底物体传导。在一定温度范围内,一个物体温度改变速度与这个物体温度和其所在介质温度差值成百分比。b.基本概念 常微分方程OrdinaryDifferentialEquation(ODE) 偏微分方程PartialDifferentialEquation(PDE) 方程阶数(未知函数最高阶导数阶) 通解和特解 假如一个函数用以代替微分方程中未知函数能使该方程成为恒等式,那么就说这个函数是微分方程一个解. 微分方程解普通表示式称为通解.一个n阶方程通解含有n个任意常数. 满足一定详细条件一个确定解称为特解.(常见条件有初始条件) 6/59C.一阶常微分方程及其解几何解释二、一阶可分离变量微分方程三、一阶齐次微分方程四、一阶线性微分方程12/59作业一些可用变量代换化为已知类型方程15/5916/59五、可降阶高阶方程18/59六、微分方程应用举例20/5921/5922/59作业第2节二阶线性常微分方程注:和一阶方程不一样,普通来说,(1)不能用 已知初等函数显式表出它解,甚至也不 能用积分号来表示它解.为求它解,普通 用是无穷级数. 本章中,对(1)实际解法讨论,大部分限 于系数为常数特殊情形.另外,本章方法 都能够推广到高阶线性方程上去.后面讨论中要用存在唯一性定理.这就说明线性方程理论中心问题是求解齐次方程问题.对于(2),恒等于零函数总是它解,我们把这个解称为平凡解,普通没有什么意义.关于(2)解结构,请看下述定理.29/5930/5931/5932/5933/5934/5935/59Question(请考虑以下问题)37/5938/59利用一个已知解求出别解作业二、二阶常系数线性ode解法42/5943/59能够将此方法推广到n阶线性常系数齐次方程2.常系数非齐次方程特解求法46/5947/5948/5949/59作业xt7.47(1,3,6,7)8(1,3,5)(2)[常数变易法]方法和一阶方程一样,将齐次方程通解中常数变为函数代入。三、欧拉方程54/59四、一阶常系数线性方程组解法56/59五、振动问题58/59作业xt7.410(2,3,6)11(2)