集合和函数的概念.doc

集合和函数的概念一、集合1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性。例：〔1〕设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，假设，，那么P+Q中元素的有________个。〔答：8〕〔2〕非空集合，且满足“假设，那么〞，这样的共有_____个〔答：7〕HYPERLINK"://zxxk"时，注意“极端〞情况：或；同样当时，注意的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。例：集合，，且，那么实数＝______.〔答：〕HYPERLINK"://zxxk"个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为例：满足集合M有______个。〔答：7〕HYPERLINK"://zxxk"4.集合的运算性质:⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺.5.研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：指函数的定义域；指函数的值域；指函数图象上的点集。例：设集合，集合N＝，那么___〔答：〕6.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否认型或正面较复杂的有关问题。例：函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。〔答：〕二、函数的概念1.函数:AB是指对集合A中任意一个数在f的作用下，集合B中都有唯一的数与之对应。注意：定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如函数，，那么集合中所含元素的个数有个〔答：0或1〕；2.映射:AB的概念。在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。例:点在映射作用下的象是，那么在作用下点的原象为点______〔答：〔2，－1〕〕；3.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法那么。而值域可由定义域和对应法那么唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法那么相同时，它们一定为同一函数。4.求函数定义域的常用方法〔研究函数问题时要树立定义域优先的原那么〕：HYPERLINK"://zxxk"〔1〕根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中且，三角形中,最大角，最小角等。例:〔广东〕函数的定义域是()〔2〕复合函数的定义域：假设的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可；假设的定义域为,求的定义域，相当于当时，求的值域〔即的定义域〕。例:函数定义域是，那么的定义域是〔〕A．B.C.D.(3)实际问题考虑实际情况.5.求函数值域〔最值〕的方法：HYPERLINK"://zxxk"〔1〕配方法:二次函数〔二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定〔动〕，对称轴动〔定〕的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看〞：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系〕.例:当时，函数在时取得最大值，那么的取值范围是___〔答：〕；〔2〕换元法:通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.运用换元法时，要特别要注意新元的范围〕例:的值域为_____〔答：〕〔令，〕.〔3〕函数有界性法:直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性.例:求函数，的值域〔答：〔0,1〕、〕；HYPERLINK"://zxxk"〔4〕单调性法:利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性.例:求的值域为______〔答：〕；HYPERLINK"://zxxk"〔5〕判别式法:对分式函数〔分子或分母中有一个是二次〕都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过局局部式后，再利用根本不等式.①型，可直接用不等式性质，如求的值域〔答：〕HYPERLINK"://zxxk"②型，先化简，再用均值不等式，如求函数的值域〔答：〕③型，可用判别式法或均值不等式法，如求的值域〔答：〕提醒：求函数的定义域、值域时，一定要按要求写成集合或区间形式.HY