集合和函数的概念.doc

集合和函数的概念一、集合1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时尤其要注意元素的互异性。例：〔1〕设P、Q为两个非空实数集合定义集合P+Q=假设那么P+Q中元素的有________个。〔答：8〕〔2〕非空集合且满足“假设那么〞这样的共有_____个〔答：7〕时注意“极端〞情况：或；同样当时注意的情形？要注意到是任何集合的子集是任何非空集合的真子集。例：集合且那么实数＝______.〔答：〕个元素的有限集合其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为例：满足集合M有______个。〔答：7〕4.集合的运算性质:⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺.5.研究集合问题一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：指函数的定义域；指函数的值域；指函数图象上的点集。例：设集合集合N＝那么___〔答：〕6.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况补集思想常运用于解决否认型或正面较复杂的有关问题。例：函数在区间上至少存在一个实数使求实数的取值范围。〔答：〕二、函数的概念1.函数:AB是指对集合A中任意一个数在f的作用下集合B中都有唯一的数与之对应。注意：定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点但与轴垂线的公共点可能没有也可能有任意个。如函数那么集合中所含元素的个数有个〔答：0或1〕；2.映射:AB的概念。在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象但原象不一定唯一。例:点在映射作用下的象是那么在作用下点的原象为点______〔答：〔2－1〕〕；3.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域值域和对应法那么。而值域可由定义域和对应法那么唯一确定因此当两个函数的定义域和对应法那么相同时它们一定为同一函数。4.求函数定义域的常用方法〔研究函数问题时要树立定义域优先的原那么〕：〔1〕根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零分母不能为零对数中且三角形中最大角最小角等。例:〔广东〕函数的定义域是()〔2〕复合函数的定义域：假设的定义域为其复合函数的定义域由不等式解出即可；假设的定义域为求的定义域相当于当时求的值域〔即的定义域〕。例:函数定义域是那么的定义域是〔〕A．B.C.D.(3)实际问题考虑实际情况.5.求函数值域〔最值〕的方法：〔1〕配方法:二次函数〔二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定〔动〕对称轴动〔定〕的最值问题。求二次函数的最值问题勿忘数形结合注意“两看〞：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系〕.例:当时函数在时取得最大值那么的取值范围是___〔答：〕；〔2〕换元法:通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.运用换元法时要特别要注意新元的范围〕例:的值域为_____〔答：〕〔令〕.〔3〕函数有界性法:直接求函数的值域困难时可以利用已学过函数的有界性来确定所求函数的值域最常用的就是三角函数的有界性.例:求函数的值域〔答：〔01〕、〕；〔4〕单调性法:利用一次函数反比例函数指数函数对数函数等函数的单调性.例:求的值域为______〔答：〕；〔5〕判别式法:对分式函数〔分子或分母中有一个是二次〕都可通用但这类题型有时也可以用其它方法进行求解不必拘泥在判别式法上也可先通过局局部式后再利用根本不等式.①型可直接用不等式性质如求的值域〔答：〕②型先化简再用均值不等式如求函数的值域〔答：〕③型可用判别式法或均值不等式法如求的值域〔答：〕提醒：求函数的定义域、值域时一定要按要求写成集合或区间形式.6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值时一定首先要判断属于定义域的哪个子集然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。例:设函数那么不等式的解集是________〔答：〕；7.求函数解析式的常用方法：〔1〕待定系数法:所求函数的类型〔二次函数的表达式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：要根据条件的特点灵活选用二次函数的表达形式.〔2〕代换〔观测配凑〕法:形如的表达式求的表达式。例:①那么;假设那么.②求的解析式〔答：〕；这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性即的定义域应是的值域。〔3〕方程的思想――条件是含有及另外一个函数的等式可抓住等式的特征对等式的进行赋值从而得到关于及另外一个函数的方程组。例:求的解析式〔答：〕；课后练