李雅普诺夫方法.ppt

第三章动态系统的稳定性及李雅普诺夫分析方法如果由非零初始状态引起的系统自由运动有界，即：二、李亚普诺夫稳定性基本概念对非线性系统，一般有多个平衡状态。可以将下式看成为状态空间中以为球心，以为半径的一个超球体，球域记为；把上式视为以为球心，以为半径的一个超球体，球域记为。球域依赖于给定的实数和初始时间。从球域内任一点出发的运动对所有的都不超越球域。满足渐近稳定的球域只是状态空间中的有限部分，这时称平衡状态为局部渐近稳定，并且称为渐近稳定吸引区，表示只有从该区域出发的受扰运动才能被“吸引”至平衡状态。3.不稳定单摆是Lyapunov意义下稳定或渐近稳定的例子。线性定常离散系统平衡状态为渐近稳定的充要条件是系统矩阵的所有特征值的模都小于1。3)A的特征值的实部有一部分为0，其它均具负实部，非线性系统在的稳定性不能得出明确结论，而取决于的高阶导数项。一般可通过其它方法（如找合适的Lyapunov函数)确定其稳定性。设为关于n维向量的标量函数，并且在处，有，则对于任意的非零向量，有：③若，为负定；③若，P为正半定；则平衡状态是大范围渐近稳定的。2．渐近稳定判定定理2：3．李雅普诺夫意义下稳定判定定理：如果上述定理的条件（2）为即正半定时，也可推论出两种情况：为不定，根据李雅普诺夫第二法的相关定理，不能作出关于平衡点稳定性能的判断。为负半定，由上述定理，应考察时是否恒为0的情况：§3线性系统的Lyapunov稳定性分析方法当时，有，所以平衡状态是大范围一致渐近稳定的。时变连续系统在平衡点为一致大范围渐近稳定的充要条件是对任意给定的一致正定及一致有界的实对称时变矩阵，存在一个一致正定及一致有界的实对称矩阵，满足矩阵方程：线性定常离散系统在平衡点为大范围渐近稳定的充要条件是对任意给定的正定实对称矩阵Q，存在正定的实对称矩阵P，满足矩阵方程：（和为非零常数)这时二次型函数四、时变离散系统其中P(0)是矩阵差分方程的初始条件，选取一个正定的实对称时变矩阵Q(k)（例如简单地选Q(k)=I)，由上式解得P(k+1)，然后看它是否为正定的实对称矩阵来判别系统在平衡点的渐近稳定性。非线性系统稳定性的分析要复杂得多。（1）非线性系统的平衡状态可能不止一个，而且可能其中有的稳定，有的不稳定；（2）非线性系统的渐近稳定的平衡状态往往是局部的；（3）构造满足李雅普诺夫第二法稳定性判据的李雅普诺夫函数更加困难，往往会因找不到合适的李雅普诺夫函数而无法作出判断。所提出的一些关于非线性系统稳定性的分析方法大都分别适合于一类特定的系统。本节介绍两种相对简单实用的非线性系统稳定性分析方法，它们都是建立在李雅普诺夫第二法基础之上，因此也只是提供了充分条件。另外，两种方法的出发点都在于设法构造能给出非线性系统稳定性判别的合适的李雅普诺夫函数。（3）如果雅可比矩阵本身对称时，定理条件可以由负定简化为负定。对于，它也包含了对应元素，且有假设是系统的一个李雅普诺夫函数，它不是时间t的显函数，则有：有个等式由限制条件和上面所列的个等式可以确定出一些待定量，不够部分用试凑法解决。（4）验证的定号性，因为（3）有可能改变的定号性；由于，故函数正定，它是所需要的李雅普诺夫函数。（6）当时，有所以平衡状态是大范围一致渐近稳定的。