稳定性与李雅普诺夫方法.pptx

3、现代控制理论判稳方法：[俄]李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用方法，适用于各种系统。4.1基本定义二、平衡状态2、非线性系统四、稳定性的定义若的稳定性（渐近稳定）不依赖于，则称其为一致稳定（渐近稳定）。4.2李雅普诺夫第一法例：已知试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。解：（1）由状态传递函数其传递函数的极点为：有极点在s平面的左半平面，所以系统的状态不是渐进稳定的。（2）由输出传递函数其传递函数的极点为：没有极点在s平面的左半平面。所以系统的输出是稳定的。二、非线性系统的稳定性设系统的状态空间表达式为为其平衡点。将非线性矢量函数在的邻域内展成泰勒级数，得：称为雅克比矩阵。若令，忽略高阶项，可得系统的线性化方程：可以采用线性系统判断稳定性的方法来判断系统的状态稳定性与输出稳定性。某系统的状态方程为试分析系统在平衡状态处的稳定性。解：系统有两个平衡状态（1）在处将其线性化，得其特征值为，可见原分线性系统在处是不稳定的。（2）在处将其线性化，得其特征值为，实部为零，因而不能由线性化方程得出原系统在处稳定性的结论。这种情况要应用下面的李雅普诺夫第二法进行判定。4.3李雅普诺夫第二法一、预备知识1.标量函数的性质（1），则称为正定的。（2），则称为半正定（或非负定）的。（3），则称为负定的。例如：（4），则称为半负定（或非正定）的。（5）或，则称为不定的。例1）正定的2）半正定的3）负定的4）半负定的5）不定的2.二次型标量函数如果，则称为实对称阵。矩阵的符号性质如下：（1）若为正定，则为正定；（2）若为负定，则为负定；（3）若为半正定，则为半正定；（4）若为半负定，则为半负定；可见，矩阵的性质与其所决定的二次函数的符号性质完全一致。因此，要判别的符号，只要判别即可。二、稳定性判据1.若为半负定，那么平衡状态为在李雅普诺夫意义下的稳定。此称稳定判据。2.若为负定，或者虽然为半负定，但对任意的初始状态来说，除去平衡点外，其余处均不为零，那么原点平衡状态是渐近稳定的。如果还有，则系统是大范围渐近稳定的。此称渐近稳定判据。3.若为正定，那么平衡状态是不稳定的。此称不稳定判据。应当指出，上述判据仅仅是一个判断稳定性的充分条件，二不是充要条件。也就是说，对于给定的系统，如果找到了满足稳定性判据的李雅普诺夫能量函数，可以肯定系统是稳定大，但却不能因为没有找到这样的函数就做出不稳定的判据。例：已知系统状态方程试分析平衡状态的稳定性。解：坐标原点是系统唯一的平衡状态。设正定标量函数为得可见是负定的，且所以，系统在坐标原点处为大范围渐近稳定。4.4李雅普诺夫方法在线性系统中的应用证明：设则：将状态方程代入得欲使系统在平衡点稳定，要求必须为负定。从而可知必须为正定。因此，不妨取也就是说满足的正定矩阵构成的一定就是我们要找的李雅普诺夫能量函数。例：设二阶线性定常系统的状态方程如下，分析平衡点的稳定性。解：设代入李雅普诺夫方程，得得故矩阵P是正定的，所以系统在平衡点处大范围渐近稳定。从而得可见是负定的，所以系统大范围渐进稳定。例：设系统的状态方程为试确定系统增益K的稳定范围。解：设由得为使P为正定矩阵，其充要条件是即该题也可由系统特征根为负实部（劳斯判据）求得即对于线性时变系统来说，由于状态方程为因此，其变为系统稳定的充要条件为：对于任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在一个正定的实对称矩阵P满足：因此，可去P=I。4.5李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用例：设系统的状态方程为试分析系统在平衡点处的稳定性。解：计算雅克比矩阵得因此，系统在平衡点为大范围渐近稳定。