3有限差分方法基础.pptx

计算流体力学引论第二章有限差分方法基础§2.1有限差分方法概述2.1.2求解域及偏导数的离散化求解域被划分为一系列离散的时空网格点4.导数的数值逼近2.1.3差分格式2.BTCS(BackwarddifferenceinTime,CentraldifferenceinSpace)格式2.1.4差分方程的求解FTCS格式的求解过程2.BTCS格式2.1.5用时间相关方法求解定常问题§2.2导数的数值逼近方法一般来讲，对偏导数的近似精度越高，差分格式的精度越高。例：一维非定常热传导方程的FTCS格式中涉及的导数差分近似的精度。2.2.2导数差分近似的待定系数法2.2.3导数差分近似方法的差分算子法差分算子：移位算子和可以表示为移位算子函数的算子。2.差分算子之间的关系所有的差分算子均可用Taylor展开式来估算截断误差项的量级。3.微分算子与差分算子的关系4.导数的近似即：即：5.紧致格式基于Pade近似的导数近似方法，称为紧致格式(compactscheme)。§2.3差分格式的性质2.算子范数2.3.2差分格式的精度如果时间步长和空间步长之间满足一定的关系，FTCS格式时间方向可达到二阶精度，空间方向可达到四阶精度。2.3.3差分格式的相容性2.3.4差分格式的收敛性和稳定性2.整体截断误差3.差分格式的收敛性和稳定性上述定理建立了算子范数的一致有界性与稳定性之间的关系。Lax等价性定理是计算流体力学中的一个重要定理。直接分析差分格式的收敛性比较困难，而稳定性分析则比较简单。Lax定理告诉我们，在一定条件下，收敛性和稳定性是等价的；通过稳定性分析，即可确定差分格式的收敛条件。§2.4发展方程的稳定性分析2.4.2VonNeumann稳定性理论2.4.3稳定性分析实例