试题-全国-2010_八年级数学暑假专题 梯形中常见辅助线的作法 人教实验版 知识精讲.rar

7用心爱心专心八年级数学暑假专题梯形中常见辅助线的作法人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：梯形中常见辅助线的作法.二、知识要点：梯形是一种特殊的四边形，在解决有关梯形的问题时，常常需要借助辅助线，将其分割、拼接成三角形、矩形或平行四边形等问题来解决.常见的几种辅助线的作法如下：作法图形平移一腰，转化为三角形、平行四边形作高，转化为两直角三角形和一矩形延长两腰，转化为三角形平移一对角线，转化为三角形、平行四边形连接一顶点与一腰的中点，构造全等三角形【典型例题】例1.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，DC＝6，∠B＝45°，BC＝10，求梯形上底AD的长.分析：作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，这样可构造两个直角三角形.解：分别过点A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则四边形AEFD是矩形.在Rt△ABE中，∵∠B＝45°，∴AE＝BE.设AE＝BE＝x，则AB＝eq\r(,2)x＝8，∴x＝4eq\r(,2)，∴AE＝BE＝DF＝4eq\r(,2)，在Rt△DFC中，CF＝eq\r(,DC2－DF2)＝2，∴AD＝EF＝BC－BE－CF＝10－4eq\r(,2)－2＝8－4eq\r(,2).评析：过梯形上底两端点作梯形的高，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形.例2.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的长.解：过点D作DE∥BC交AB于点E.又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形.所以DE＝BC＝17，CD＝BE.在Rt△DAE中，由勾股定理，得AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.所以AE＝8.所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.即CD＝8.评析：平移一腰，即将梯形转化为三角形、平行四边形.例3.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，BD＝6cm.求梯形ABCD的面积.解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.又AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形.∴AC＝DE，S△ADC＝S△ECD.∵S△ADC＝S△DAB，∴S△DAB＝S△ECD.∴S△DBE＝S梯形ABCD.∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD.∵AC＝DE，∴BD＝DE＝6cm.∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DE⊥BD.∴S梯形ABCD＝S△DBE＝eq\f(1,2)BD·DE＝eq\f(1,2)×6×6＝18（cm2）.评析：平移一对角线，将梯形转化为三角形、平行四边形.例4.如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.解：四边形ABCD是等腰梯形.证明：延长AD、BC相交于点E，如图所示.∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，∴△DAB≌△CBA.∴∠DAB＝∠CBA.∴EA＝EB.又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.又AD不平行于BC，∴四边形ABCD是等腰梯形.评析：延长两腰，将梯形转化为三角形.例5.如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，BC＝3，CD＝1.E是AD的中点，求证：CE⊥BE.分析：证两直线垂直可利用90°，线段垂直平分线和等腰三角形的三线合一.由已知AB＝2，CD＝1，BC＝3.所以转化线段，构造CD＋AB＝BC的情况.可延长CE交BA的延长线于F.可证△CDE≌△FAE，从而AF＝CD，CE＝EF，即得BF＝BC，再利用等腰三角形的性质得CE⊥BE.证明：延长CE交BA的延长线于F，∵CD∥BF，∴∠D＝∠EAF，∠DCE＝∠F.∵DE＝AE，∴△CDE≌△FAE.∴AF＝CD＝1，EF＝CE.∵AB＝2，BC＝3，∴AB＋AF＝BC.即BF＝BC.∴BE⊥CE.评析：连结顶点和一腰的中点构造全等三角形.【方法总结】在解决梯形的有关问题时常用的思想是转化的思想，是通过作辅助线把梯形分割、拼接成我们所熟悉的三角形（尤其是Rt△），矩形、平行四边形，再利用三角形的全等、直角三角形的勾股定理以及平行四边形和矩形的性质来解决问题.【模拟试题】（答题时间：40分钟）1.若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为__________cm.2.如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为（）A.19B.20C.21D.22**3.如图所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，则梯形ABCD的面积为（）A.130B.140C.150D.160*4.