概率论与数理统计第15讲.pptx

一、随机变量方差的概念及性质由第一节知道随机变量的数学期望可以反映随机变量取值的平均程度但仅用数学期望描述一个随机变量的取值情况是远远不够的。容易算得甲乙两种牌号的手表的数学期望都是0秒现问甲乙两种牌号的手表哪一种更准确？1.方差的定义(1)由定义知方差是r.v.X的函数g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大表示X取值分散程度大E(X)的代表性差;而如果D(X)值小则表示X的取值比较集中以E(X)作为随机变量的代表性好.离散型随机变量的方差证明4.方差的性质证明证明(4)设XY相互独立D(X)D(Y)存在则(证明略)得(a)由切比雪夫不等式可以看出若D(X)越小则事件{|X-|<}的概率越大即随机变量X取值集中在期望附近的可能性越大.(b)可以利用切比雪夫不等式在分布未知的情况下而方差已知时估计出X落在区间(E(X)-E(X)+)内的概率（较粗糙）;例1：设随机变量X的数学期望E(X)=、方差D(X)=20记解1.常见的离散型随机变量的均值及方差:可见服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.X~B(np)则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.则有所以(1)均匀分布(2)指数分布(3)正态分布y这个例子又一次说明了数学期望E(X)是随机变量X取值的集中位置反映了X的平均值。例13.方差的性质例:在[01]中随机地取两个数XY求D(min{XY})练习:在每次试验中事件A发生的概率为0.5利用切比雪夫不等式估计:在1000次独立试验中事件A发生的次数在400~600之间的概率．于是在切比雪夫不等式中取＝100则有内容总结