概率论与数理统计第15讲.ppt

一、随机变量方差的概念及性质由第一节知道，随机变量的数学期望可以反映
随机变量取值的平均程度，但仅用数学期望描
述一个随机变量的取值情况是远远不够的。容易算得,甲乙两种牌号的手表的数学期望都是
0秒，现问,甲乙两种牌号的手表哪一种更准确？任给随机变量X，EX是其数学期望，
显然，|X-EX|反映了偏离的大小，
由于绝对值有诸多不便，所以用(X-EX)2去衡量这个偏差，
从而(X-EX)2仍为随机变量，
所以用(X-EX)2的平均值去衡量离开它的平均值EX的偏离程度，
引入定义：1.方差的定义(1)由定义知,方差是r.v.X的函数
g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.方差是一个常用来体现随机变量X取值分散
程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,
E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X的取
值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.离散型随机变量的方差证明4.方差的性质证明证明(4)设X,Y相互独立,D(X),D(Y)存在,则(证明略)得(a)由切比雪夫不等式可以看出，若D(X)越小,则事件{|X-|<}的概率越大，即随机变量X取值集中在期望附近的可能性越大.(b)可以利用切比雪夫不等式,在分布未知的情况下,而方差已知时,估计出X落在区间(E(X)-,E(X)+)内的概率（较粗糙）;例1：设随机变量X的数学期望E(X)=、方差
D(X)=20，记解1.常见的离散型随机变量的均值及方差:可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.X~B(n,p),则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.则有所以(1)均匀分布(2)指数分布(3)正态分布y这个例子又一次说明了数学期望E(X)是随机变量X取值的集中位置，反映了X的平均值。例13.方差的性质例:在[0,1]中随机地取两个数X,Y,
求D(min{X,Y})11练习:在每次试验中,事件A发生的概率为0.5,利用切比雪夫不等式估计:在1000次独立试验中,事件A发生的次数在400~600之间的概率．于是，在切比雪夫不等式中取＝100，则有