2 矩形的性质与判定.pptx

第一章特殊平行四边形知识点一矩形的定义和性质例1如图1-2-1矩形ABCD中对角线ACBD相交于点O∠BOC=120°AB=6.求:(1)对角线长;(2)BC的长;(3)矩形的面积.解析(1)∵四边形ABCD是矩形∴AC=BDOA=OCOB=OD∴OA=OB.∵∠BOC=120°∴∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形∴OA=AB=6∴BD=AC=2OA=2×6=12.(2)在Rt△ABC中AB=6AC=12由勾股定理得BC= = = =6 .(3)矩形ABCD的面积=AB·BC=6×6 =36 .温馨提示矩形的对角线相等且互相平分矩形的对角线将矩形分成了四个等腰三角形再由特殊角可以得到特殊的三角形——等边三角形利用等边三角形的性质可得出问题的结论.知识点二直角三角形斜边上的中线的性质例2如图1-2-2BDCE是△ABC的高GF分别是BCDE的中点求证:FG⊥DE. 图1-2-2证明如图1-2-3连接EGDG. 图1-2-3∵CE是AB边上的高∴CE⊥AB.在Rt△CEB中G是BC的中点∴EG= BC.同理DG= BC.∴EG=DG.又∵F是ED的中点∴FG⊥DE.点拨在直角三角形中遇到斜边的中点常作斜边的中线把问题转化知识点三矩形的判定例3如图1-2-4在平行四边形ABCD中EF为BC上两点且BE=CFAF=DE.求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)四边形ABCD是矩形. 图1-2-4证明(1)∵BE=CFBF=BE+EFCE=CF+EF∴BF=CE.∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=DC.在△ABF和△DCE中∵AB=DCBF=CEAF=DE∴△ABF≌△DCE.(2)∵△ABF≌△DCE∴∠B=∠C.∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD.题型一利用矩形的性质进行计算解析因为四边形ABCD为矩形所以BO=OD= BD=OA∠BAD=90°.因为BE∶ED=1∶3ED=OE+OD=OE+OB=OE+BE+OE=BE+2OE所以BE∶(BE+2OE)=1∶3所以BE=OE.因为AE⊥BD所以AB=AO=BO所以∠ABO=60°.因为∠BAD=90°所以∠ADB=90°-60°=30°.又∠AED=90°所以AE= AD= ×6=3(cm).题型二矩形的折叠问题解析∵四边形ABCD为矩形∴AB=CD=8AD=BC.又∵CE=3∴DE=5由折叠知△ADE≌△AFE∴AD=AFDE=EF=5.在Rt△ECF中由勾股定理得FC= = =4.设BF=x则BC=AD=AF=x+4.在Rt△ABF中由勾股定理得AB2+BF2=AF2即82+x2=(x+4)2解得x=6即BF=6故阴影部分的面积为S△ABF+S△ECF= ×6×8+ ×3×4=30.题型三矩形的实际应用例3工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:(1)如图1-2-7①先截出两对符合规格的铝合金窗料使AB=CDEF=GH;(2)摆放成如图1-2-7②的四边形则这时窗框的形状是形根据的数学原理是;(3)如图1-2-7③将直角尺靠紧窗框的一个角调整窗框的边框当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时说明窗框合格这时窗框是形根据的数学原理是.解析图②满足两组对边分别相等所以它的形状是平行四边形在图③上使一个角为直角由矩形的定义可以判定其形状为矩形.题型四动态探究题例4(2018河南平顶山实验中学第一次月考)如图1-2-8在△ABC中点O是AC边上的一个动点过点O作直线MN∥BC设∠BCA的平分线交MN于点E△BCA的外角∠ACD的平分线交MN于点F.图1-2-8(1)证明:EO=FO;(2)当点O运动到何处时四边形AECF是矩形?简要说明理由.解析(1)证明:∵MN∥BC∴∠CEO=∠ECB∠CFO=∠FCD.∵CECF分别是∠BCA∠ACD的平分线∴∠ECO=∠ECB∠FCO=∠FCD∴∠CEO=∠ECO∠CFO=∠FCO∴EO=OCFO=OC∴EO=FO.(2)当点O运动到AC的中点时四边形AECF是矩形.理由如下:由(1)知EO=FO.又∵AO=CO∴四边形AECF是平行四边形.∵OE=OC∴EF=AC∴平行四边形AECF是矩形.点拨求点O运动到何处时四边形AECF是矩形可以先把矩形当作已易错点混淆判定方法的前提“平行四边形”与“四边形”而出错例下列说法中正确的是 ()A.对角线相等的四边形是矩形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.有三个角是直角的四边形是矩形D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形易错警示错选A或B或D的原因是没有正确理解和掌握矩形的判定方法忽略了“平行四边形”这个