2矩形的性质与判定.pptx

2024/6/30知识点一矩形的定义和性质例1如图1-2-1,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠BOC=120°,AB=6.求:(1)对角线长;(2)BC的长;(3)矩形的面积.解析(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OA=OC,OB=OD,∴OA=OB.∵∠BOC=120°,∴∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=AB=6,∴BD=AC=2OA=2×6=12.(2)在Rt△ABC中,AB=6,AC=12,由勾股定理,得BC= = = =6 .(3)矩形ABCD的面积=AB·BC=6×6 =36 .温馨提示矩形的对角线相等且互相平分,矩形的对角线将矩形分成了四个等腰三角形,再由特殊角可以得到特殊的三角形——等边三角形,利用等边三角形的性质可得出问题的结论.知识点二直角三角形斜边上的中线的性质例2如图1-2-2,BD,CE是△ABC的高,G,F分别是BC,DE的中点,求证:FG⊥DE. 图1-2-2证明如图1-2-3,连接EG,DG. 图1-2-3∵CE是AB边上的高,∴CE⊥AB.在Rt△CEB中,G是BC的中点,∴EG= BC.同理,DG= BC.∴EG=DG.又∵F是ED的中点,∴FG⊥DE.点拨在直角三角形中,遇到斜边的中点常作斜边的中线,把问题转化知识点三矩形的判定例3如图1-2-4,在平行四边形ABCD中,E,F为BC上两点,且BE=CF,AF=DE.求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)四边形ABCD是矩形. 图1-2-4证明(1)∵BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF,∴BF=CE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC.在△ABF和△DCE中,∵AB=DC,BF=CE,AF=DE,∴△ABF≌△DCE.(2)∵△ABF≌△DCE,∴∠B=∠C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.题型一利用矩形的性质进行计算解析因为四边形ABCD为矩形,所以BO=OD= BD=OA,∠BAD=90°.因为BE∶ED=1∶3,ED=OE+OD=OE+OB=OE+BE+OE=BE+2OE,所以BE∶(BE+2OE)=1∶3,所以BE=OE.因为AE⊥BD,所以AB=AO=BO,所以∠ABO=60°.因为∠BAD=90°,所以∠ADB=90°-60°=30°.又∠AED=90°,所以AE= AD= ×6=3(cm).题型二矩形的折叠问题解析∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD=8,AD=BC.又∵CE=3,∴DE=5,由折叠知△ADE≌△AFE,∴AD=AF,DE=EF=5.在Rt△ECF中,由勾股定理,得FC= = =4.设BF=x,则BC=AD=AF=x+4.在Rt△ABF中,由勾股定理,得AB2+BF2=AF2,即82+x2=(x+4)2,解得x=6,即BF=6,故阴影部分的面积为S△ABF+S△ECF= ×6×8+ ×3×4=30.题型三矩形的实际应用例3工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:(1)如图1-2-7①,先截出两对符合规格的铝合金窗料,使AB=CD,EF=GH;(2)摆放成如图1-2-7②的四边形,则这时窗框的形状是形,根据的数学原理是;(3)如图1-2-7③,将直角尺靠紧窗框的一个角,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时说明窗框合格,这时窗框是形,根据的数学原理是.解析图②满足两组对边分别相等,所以它的形状是平行四边形,在图③上使一个角为直角,由矩形的定义可以判定其形状为矩形.题型四动态探究题例4(2018河南平顶山实验中学第一次月考)如图1-2-8,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设∠BCA的平分线交MN于点E,△BCA的外角∠ACD的平分线交MN于点F.图1-2-8(1)证明:EO=FO;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?简要说明理由.解析(1)证明:∵MN∥BC,∴∠CEO=∠ECB,∠CFO=∠FCD.∵CE,CF分别是∠BCA,∠ACD的平分线,∴∠ECO=∠ECB,∠FCO=∠FCD,∴∠CEO=∠ECO,∠CFO=∠FCO,∴EO=OC,FO=OC,∴EO=FO.(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:由(1)知EO=FO.又∵AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形.∵OE=OC,∴EF=AC,∴平行四边形AECF是矩形.点拨求点O运动到何处时四边形AECF是矩形,可以先把矩形当作已易错点混淆判定方法的前提“平行四边形”与“四边形”而出错例下列说法中,正确的是 ()A.对角线相等的四边形是矩形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.有三个角是直角的四边形是矩形D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形易错警示错选A或B或D的原因是没有正确理解和掌握矩形的判定方法,忽略了