人教版选修21第三章空间向量的直角坐标运算讲义.docx

案例（二）——精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一空间向量的直角坐标运算（1）单位正交基底：在空间直角坐标系中分别沿轴轴轴的正方向引单位向量这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底这个基底叫做单位正交基底。单位向量都叫做坐标向量。（2）设则有；；；。（3）设则可简记作：终点坐标减去起点坐标。知识点二平行与垂直的条件1.设由向量共线定理知用坐标表示得当与三个坐标平面都不平行时可简记作对应坐标成比例。2.设则由得两向量垂直的坐标形式为：。知识点三长度与夹角（1）设则。（2）设则。（3）设则其中。注意根据求由的余弦值后应根据来确定的值如若求出则而不是。典型例题分析题型1空间直角坐标的概念【例1】已知在正四棱锥中为底面中心底面边长和高都是2分别是侧棱的中点分别按照下列要求建立空间直角坐标系写出点的坐标。（1）如甲图以为坐标原点分别以射线的指向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系；（2）如乙图以为坐标原点分别以射线的指向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系。甲乙解析要求空间某一点的坐标只要求出以原点为起点、为终点的向量的坐标即可设分別是与轴、轴、轴的正方向方向相同的单位坐标向量。答案（1）因为点在坐标平面内且底面正方形的中心为、边长为2所以所以的坐标为（110）即点的坐标为。同理可得。又点在轴上所以所以的坐标为（002）即点的坐标为。因为为侧棱的中点所以所以点的坐标为同理点的坐标为。故所求各点的坐标分别为。（2）因为底面正方形的中心为、边长为2所以。由于点在轴的正半轴上所以即点的坐标为。同理可得。因为为侧棱的中点所以所以点的坐标为2。同理点的坐标为。故所求各点的坐标分别为。规律方法总结同一几何图形中由于空间直角坐标系建立的不同从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同但其实质是一样的。建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段如若找不到就要想办法构造。【变式训练1】如下图在棱长为2的正方体中以底面正方形的中心为坐标原点分别以射线的指向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系。试写出正方体八个顶点的坐标。答案设分别是与轴、轴、轴的正方向方向相同的单位坐标向量。因为底面正方形的中心为、边长为2所以。由于点在轴的正半轴上所以即点的坐标为。同理可得又所以即点的坐标为。同理可得。题型2空间向量的坐标运算【例2】已知三点的坐标分别为。分别求点的坐标使：（1）；（2）。解析因为一个向量的坐标等于表示这个向量的终点坐标减去起点坐标所以此可先求出向量的坐标然后由的坐标表示式求出点的坐标。答案由三点的坐标可得。（1）因为所以点的坐标为；（2）因为又所以所以点的坐标为。规律点拨以坐标原点为起点所以的坐标就是点的坐标；以点为起点此时的坐标不是点的坐标点的坐标应该是的坐标加上起点的坐标。另外第（2）题也可以设出点的坐标然后用方程的思想求解。【变式训练2】已知若在线段上存在一点使求点的坐标。答案因为所以化简整理得。又所以。所以点的坐标为。题型3共线【例3】已知求满足的点的坐标。解析由已知条件得这样可用向量共线的充要条件得到关系式求解可得结论。答案设点则。因为所以由此可得所以解之得从而所求点的坐标为。规律总结设则。设出所求点的坐标根据向量共线的充要条件得出关系式然后再用方程的思想进行求解。本题采用的方法是用向量坐标处理空间向量共线问题的常用方法。【变式训练3】已知试求实数的值使。答案。由得解题。题型4数量积与垂直的坐标表示【例4】已知向量（1）判断与的位置关系；（2）若求；（3）若求在方向上的投影。解析运用共线向量定理解决共线问题运用数量积的结果可判定两个向量是否垂直。答案（1）因为所以所以；（2）因为所以解之得所以从而；（3）因为所以所以解之得所以所以在方向上的投影为。规律总结要解决与向量有关的问题必须牢固掌握相关的知识点和常规的方法。特别是在第（3）小题中要知道在方向上的授影公式为：而在方向上的投影公式为。两个公式是不一样的要注意体会。【变式训练4】已知点在直线上运动（1）当的横坐标为时用表示；（2）求当取最小值时支的坐标。答案（1）因为点在直线上运动所以。又的横坐标为所以。因为所以当且仅当时取最小值此时。题型5夹角与模【例5】