人教版选修21空间向量的基本定理讲义.docx

案例（二）——精析精练
课堂合作研究
重点难点突破知识点一共线向量定理（1）定理内容：对空间两个向量，的充要条件是存在唯一的实数，
使。此定理可以分解为以下两个命题；①若，则存在唯一实数，使。②存在实数，使，则。（2）在定理中为什么要规定呢?当时，若，则，也存在实数使；但若，我们知道零向量和任一非零向量共线，但不存在实数，使，因此在定理中规定了。若将定理写成，则应规定。说明：①在功中，对于确定的和，功表示空间与平行或共线且长度为的所有向量；②利用共线向量定理可以证明两线平行，或三点共线。知识点二共面向量定理（1）共面向量已知向量，作，如果的基线平行于平面，记作（右图），通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。说明：①是指的基线在平面内或平行平面。②共面向量是指这些向量的基线平行或在同一平面内，共面向量的基线可能相交、平行或异面。
我们已知，对空间任意两个向量，它们总是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了。例如，在下图中的长方体，向量、、，无论怎样平移都不能使它们在同一平面内。（2）共面向量定理共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是，存在唯一的一对实数，使。说明：①在证明充要条件问题时，要证明两个方面即充分性和必要性。②共面向量的充要条件给出了平面的向量表示，说明任意一个平面可以由两个不共线的平面向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件的另一种形式，可以借此已知共面条件化为向量式，以便我们的向量运算。③利用共面向量定理可证明点线共面、线面平行等。
三个向量共面，又称做三个向量线性相关。反之，如果三个向量不共面，则称做三个向量线性无关。知识点三空间向量分解定理（1）空间向量分解定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，，，使。
如果三个向量、、是三个不共面的向量，则、、的线性组合能生成所有的空间向量，这时、、叫做空间的一个基底，记作，其中、、都叫做基向量。（3）空间向量基本定理说明：①用空间三个不共面的已知和向量组可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的。②空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底。③由于0可看做是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0。要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。典型例题分析题型1概念问题【例1】设，，，且是空间的个基底，给出下列向量组：①，②，③，，④，⑤。其中可以作为空间基底的向量组有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析正确理解向量的基底与基向量。答案如图所示，设，则，，由、、、D四点不共面，可知、、也不共面，同理可知、、和、、、也不共面。选D.方法指导能否作为空间的基底，即是判断给出的向量组中的三个向量是否共面。充分利用一些常见的几何体，如：正方体、长方体、平行六面体、四面体等可以帮助我们进行直观判断，即模型法的应用。【变式训练1】设、、是三个不共面向量，现从①，②，③，④，⑤中选出一个使其与、构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为。【答案】③④⑤。题型2共线向量定理的应用【例2】已知空间三个不共面的向量，若，，且，求实数的值。解析解决向量共线问题的依据是应用共线向量的充要条件，即，且是唯一确定的实数及。答案因为，所以，即。由于向量不共面，所以
解之，得故实数的值分别为。规律总结待定系数法也可以用来解决空间向量中的有关问题。在解决本题的过程中有
两个关键：一是运用共线向量的充要条件得到相应的关系式；二是根据空间向量定理的推论得到关于的方程组。【变式训练2】已知空间三个非零向量、、满足，判断向量与是否平行。答案因为所以得：，得：，所以，故由共线向量充要条件得：。【变式训练3】已知向量、，且，则一定共线的三点是（）A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D答案。所以，所以、、三点共线。选A.题型3共面向量定理及应用【例3】已知，，三点不共线，对平面外一点，确定下列各条件中的点是否与点，，一定共面，（1）；（2）。解析由共面向量定理知，要证明，，，四点共面，只要证明存在有序实数对使得。答案（1）共面。，，即.主不共线，共面且具有公共点，从而，，，四点共面。（2）不共面。如果与，，共面，则存在唯一的实数对，使得，对平面外一点，有，即，与原式比较得，此方程组无解，故，，，四点不共面。规律总结判断四点共面，除了本题中的解题方法外，还可以用其变形，即：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使得对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则对空间任一定点，有。【变式训练4】若是三个不共面的向量，试问向量，，是否共面，并说明理由。答案令，亦即，，因为是三个不共面的向量，