人教版选修21第三章空间向量的基本定理讲义.docx

案例（二）——精析精练课堂合作研究重点难点突破知识点一共线向量定理（1）定理内容：对空间两个向量的充要条件是存在唯一的实数使。此定理可以分解为以下两个命题；①若则存在唯一实数使。②存在实数使则。（2）在定理中为什么要规定呢?当时若则也存在实数使；但若我们知道零向量和任一非零向量共线但不存在实数使因此在定理中规定了。若将定理写成则应规定。说明：①在功中对于确定的和功表示空间与平行或共线且长度为的所有向量；②利用共线向量定理可以证明两线平行或三点共线。知识点二共面向量定理（1）共面向量已知向量作如果的基线平行于平面记作（右图）通常我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。说明：①是指的基线在平面内或平行平面。②共面向量是指这些向量的基线平行或在同一平面内共面向量的基线可能相交、平行或异面。我们已知对空间任意两个向量它们总是共面的但空间任意三个向量就不一定共面了。例如在下图中的长方体向量、、无论怎样平移都不能使它们在同一平面内。（2）共面向量定理共面向量定理：如果两个向量、不共线则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的一对实数使。说明：①在证明充要条件问题时要证明两个方面即充分性和必要性。②共面向量的充要条件给出了平面的向量表示说明任意一个平面可以由两个不共线的平面向量表示出来它既是判断三个向量是否共面的依据又是已知共面条件的另一种形式可以借此已知共面条件化为向量式以便我们的向量运算。③利用共面向量定理可证明点线共面、线面平行等。三个向量共面又称做三个向量线性相关。反之如果三个向量不共面则称做三个向量线性无关。知识点三空间向量分解定理（1）空间向量分解定理：如果三个向量、、不共面那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组使。如果三个向量、、是三个不共面的向量则、、的线性组合能生成所有的空间向量这时、、叫做空间的一个基底记作其中、、都叫做基向量。（3）空间向量基本定理说明：①用空间三个不共面的已知和向量组可以线性表示出空间任意一个向量而且表示的结果是唯一的。②空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底。③由于0可看做是与任意一个非零向量共线与任意两个非零向量共面所以三个向量不共面就隐含它们都不是0。要明确：一个基底是一个向量组一个基向量是指基底中的某一个向量二者是相关联的不同概念。典型例题分析题型1概念问题【例1】设且是空间的个基底给出下列向量组：①②③④⑤。其中可以作为空间基底的向量组有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析正确理解向量的基底与基向量。答案如图所示设则由、、、D四点不共面可知、、也不共面同理可知、、和、、、也不共面。选D.方法指导能否作为空间的基底即是判断给出的向量组中的三个向量是否共面。充分利用一些常见的几何体如：正方体、长方体、平行六面体、四面体等可以帮助我们进行直观判断即模型法的应用。【变式训练1】设、、是三个不共面向量现从①②③④⑤中选出一个使其与、构成空间向量的一个基底则可以选择的向量为。【答案】③④⑤。题型2共线向量定理的应用【例2】已知空间三个不共面的向量若且求实数的值。解析解决向量共线问题的依据是应用共线向量的充要条件即且是唯一确定的实数及。答案因为所以即。由于向量不共面所以解之得故实数的值分别为。规律总结待定系数法也可以用来解决空间向量中的有关问题。在解决本题的过程中有两个关键：一是运用共线向量的充要条件得到相应的关系式；二是根据空间向量定理的推论得到关于的方程组。【变式训练2】已知空间三个非零向量、、满足判断向量与是否平行。答案因为所以得：得：所以故由共线向量充要条件得：。【变式训练3】已知向量、且则一定共线的三点是（）A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D答案。所以所以、、三点共线。选A.题型3共面向量定理及应用【例3】已知三点不共线对平面外一点确定下列各条件中的点是否与点一定共面（1）；（2）。解析由共面向量定理知要证明四点共面只要证明存在有序实数对使得。答案（1）共面。即.主不共线共面且具有公共点从而四点共面。（2）不共面。如果与共面则存在唯一的实数对使得对平面外一点有即与原式比较得此方程组无解故四点不共面。规律总结判断四点共面除了本题中的解题方法外还可以用其