人教版选修21第三章空间向量的直角坐标运算讲义.docx

人教版选修21第三章空间向量的直角坐标运算讲义
人教版选修21第三章空间向量的直角坐标运算讲义
人教版选修21第三章空间向量的直角坐标运算讲义
案例（二)——精析精练
课堂合作探究
重点难点突破ﻫ知识点一空间向量得直角坐标运算ﻫ(1)单位正交基底：在空间直角坐标系中，分别沿轴,轴,轴得正方向
引单位向量,这三个互相垂直得单位向量构成空间向量得一个基底,，这个基底叫做单位正交基底。单位向量都叫做坐标向量。(2）设,则有；；；。ﻫ（3)设,则,可简记作：终点坐标减去起点坐标。
知识点二平行与垂直得条件ﻫ１、设,由向量共线定理知,用坐
标表示,得ﻫ当与三个坐标平面都不平行时，，可简记作对应坐标成比例。2、设，则由，得两向量垂直得坐标形
式为：。ﻫ知识点三长度与夹角(１）设，则。ﻫ（2）设，则。ﻫ（3）设,则,其中。ﻫ注意根据,求由得余弦值后,应根据来确定
得值，如若求出,则，而不是。ﻫ典型例题分析题型1空间直角坐标得概念ﻫ【例1】已知在正四棱锥中，为底面中心,底面边长和高都是2,
分别是侧棱得中点，分别按照下列要求建立空间直角坐标系，写出点
得坐标。ﻫ（1)如甲图，以为坐标原点，分别以射线得指向为轴、轴、轴
得正方向，建立空间直角坐标系；（2）如乙图,以为坐标原点,分别以射线得指向为轴、轴、轴
得正方向,建立空间直角坐标系。
甲乙
解析要求空间某一点得坐标，只要求出以原点为起点、为终点得向量
得坐标即可，设，分別是与轴、轴、轴得正方向方向相同得单位坐标向量。答案(1)因为点在坐标平面内,且底面正方形得中心为、边长为2,所以
,所以得坐标为(1,1，0），即点得坐标为。ﻫ
同理可得，,。ﻫ又点在轴上,所以，所以得坐标为(0,0,２），即点得坐标为。ﻫ因为为侧棱得中点，所以，所
以点得坐标为同理点得坐标为。ﻫ故所求各点得坐标分别为,,，，,,。ﻫ(2）因为底面正方形得中心为、边长为２，所以。
由于点在轴得正半轴上,所以,即点得坐标为。ﻫ同理可得。因为为侧棱得中点,所以，所以点
得坐标为2。同理点得坐标为。故所求各点得坐标分别为ﻫ。规律方法总结同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立得不同,从而各点得坐标在
不同得坐标系中也不一定相同，但其实质是一样得。建立空间直角坐标系得关键是根据几何
图形得特征,尽量先找到三条互相垂直且交于一点得线段,如若找不到,就要想办法构造。【变式训练1】如下图，在棱长为2得正方体中，以底面正方形
得中心为坐标原点,分别以射线得指向为轴、轴、轴得正方
向,建立空间直角坐标系。
试写出正方体八个顶点得坐标。ﻫ答案设分别是与轴、轴、轴得正方向方向相同得单位坐标向量。因为底面正方形得中心为、边长为2,所以。由于点在轴得正半轴上，所以，即点得坐标为。ﻫ同理可得,又,所以,即点得坐标为。ﻫ同理可得。
题型2空间向量得坐标运算
【例2】已知三点得坐标分别为。分别求点得坐标，使:ﻫ(1)；（2）。
解析因为一个向量得坐标等于表示这个向量得终点坐标减去起点坐标,所以此
可先求出向量得坐标，然后由得坐标表示式求出点得坐标。答案由三点得坐标可得。（１）因为，所以点得坐标为；（2)因为,又,
所以,所以点得坐标为。规律点拨以坐标原点为起点,所以得坐标就是点得坐标;以点为起
点，此时得坐标不是点得坐标,点得坐标应该是得坐标加上起点得坐标。另外第（2）题也可以设出点得坐标,然后用方程得思想求解。ﻫ【变式训练２】已知，若在线段上存在一点,使,求点得坐标。ﻫ答案因为,所以,化简，整理得。ﻫ又,所以。所以点得坐标为。ﻫ题型3共线ﻫ【例３】已知，求满足得点得坐标。解析由已知条件,得，这样可用向量共线得充要条件得到关系式,求解可得结论。答案设点,则，。因为，所以,由此可得,ﻫ所以，解之,得，从而所求点得坐标为。规律总结设，则,。设出所求点得坐标，根据向量共线得充要条件得出关系式,然后再用方程得思想进行求解。本题采用得方法是用向量坐标处理空间向量共线问题得常用方法。【变式训练3】已知,试求实数得值，使。答案。由,得,解题。题型4数量积与垂直得坐标表示ﻫ【例４】已知向量,ﻫ（1)判断与得位置关系;(2)若,求;(３)若，求在方向上得投影。ﻫ解析运用共线向量定理解决共线问题,运用数量积得结果可判定两个向量是否垂直。答案(1）因为,所以,所以;ﻫ（2）因为,所以,解之，得,所以，从而;ﻫ(3)因为，所以,所以，解之得,所以，所以在方向上得投影为
。ﻫ规律总结要解决与向量有关得问题，必须牢固掌握相关得知识点和常规得方法。特别
是在第（3）小题中，要知道在方向上得授影公式为:,而在方向上得投影公式为。两个公式是不一样得，要注意体会。【变式训练4】已知,点在直线上运动，（１)当得横坐标为时，用表示；（2)求当取最小值时，支得坐标。ﻫ答案(1)因为点在直线上运动，所