最新精编医学专题—第七章玻耳兹曼统计.docx

第七章玻耳兹曼统计7.1据公式证明对于非相对论粒子有。解：边长L的立方体中粒子能量本征值：简记为其中是系统体积常量并以指标代表三个量子数。从而得：代入压强公式有。7.2试根据公式证明对于相对论粒子有。解:边长为L的立方体中极端相对论粒子的能量本征值为：用指标表示量子数表示系统的体积可将上式简记为其中：由此代入压强7.3选择不同的能量零点粒子第个能级的能量可以取为或。以表示二者之差试证明相应配分函数存在关系并讨论由配分函数和求得的热力学函数有何差别.解:当选择不同的能量零点时粒子能级的能量可以取为或配分函数故根据内能的统计表达式：容易证明根据压强的统计表达式：容易证明根据熵统计表达式：容易证明其他热力学函数请自行考虑。7.4试证明对于遵从玻尔兹曼分布的系统熵函数可以表示为式中PS是粒子处在量子态S的概率对粒子的所有量子态求和。证明：S态上的平均粒子数为概率为显然有归一化条件且粒子的平均能量可以表示为定域系统的熵为：7.5某固体含有A、B两种原子试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合熵为：其中N是总原子数x是A原子的百分比(1-x)是B原子的百分比。证明：A种原子在N个格点随即分布的状态数：所以混合熵当N很大时利用公式7.6晶体含有N个原子原子在晶体中的正常位置如图中的“O”所示.当原子离开正常位置而占据图中的“”位置时晶体中就出现缺位和填隙原子.晶体的这种缺陷称为Frenkel缺陷.(a)假设正常位置和填隙位置数都是N试证明由于在晶体中形成个缺位和填隙原子而具有的熵等于:(b)设原子在填隙位置和正常位置的能量差为.试由自由能为极小证明温度为T时缺位和填隙原子数为:解:(a)晶体内N个原子正常的格点位置亦为N.当固体的N个正常位置出现个缺位时由于缺位位置的不同可以有个微观状态同样也可以有个微观状态.因此总的可能的微观状态数为：因此弗伦克尔缺陷熵为：(b)形成个缺位和填隙原子后固体内能的增加为自由能的改变为假设形成缺陷后固体的体积不变温度为T时平衡态的自由能为极小:从而得：即由于上式可以近似为7.7如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置构成新的一层称为肖脱基缺陷.以N表示晶体中的原子数表示晶体中的缺陷数.如果忽略晶体体积的变化试用自由能为极小的条件证明温度为T时有（设）其中W为原子在表面位置与正常位置的能量差。解:在原有的N个正常位置中个原子转移到表面就有个缺位有：形成缺陷后固体熵增为形成个肖脱基后内能的增加为自由能的改变为忽略固体体积的变化温度为T时平衡态自由能最小要求：得即由于上式近似为：7.8气体以恒定的速度沿Z方向作整体运动。试证明在平衡状态下分子动量的最概然分布为。证明：气体是非定域系统由于满足经典极限条件而遵从玻尔兹曼分布。微观状态数为其对数为令各有al的变化alln因而有变化在气体沿Z方向作整体运动的情形下分布满足：;;要求;;气体分子分布是使ln为极大。用拉氏乘子1和法得每个al的系数都等于零所以有或写成动量的连续分布：在体积V=L3内在PX到PX+dPXPY到PY+dPYPZ到PZ+dPZ的动量范围内的分子数为7.9气体以恒定速度v0沿Z方向作整体运动。求分子的平均平动能量。解：以v0沿Z方向运动的气体速度分布为:分子平均动能为:7.10表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动可以看作二维气体.试写出二维气体中分子的速度分布和速率分布并求平均速率最概然速率和方均根速率.解:在液面上物质分子的速度分布为:速率分布为:极坐标系下平均速率为:速率平方的平均值为方均根速率为最概然速率条件确定由此可得。7.11根据麦氏速度分布律导出两分子的相对速度和相对速率的概率分布并求相对速率的平均值．解：I先求速度分布：两分子的相对速度在dvrxdvrydvrz内的几率:v1x有关分量同理v1y分量分别为;v1z分量分别为于是引入则速度分布为：把变数换为vrθφ并对θφ积分则得到速率分布为相对速率的平均值7.12试证明单位时间内碰到单位面积器壁上的分子数为：。解:单位时间内碰到单位面积器壁上速度在范围内的子数为：用速度空间的球坐标可以表为：对和积分有因此得：7.13分子从器壁的小孔射出求在射出的分子束中分子的平均速率和方均根速率。解：单位时间内碰到单位面积器壁上的分子数为如果器壁有小孔分子可以通过小孔逸出。当小孔足够小对容器内分子的平衡分布影响可以忽略时单位时间内逸出的分子数就等于碰到小孔面积上的分子数。因此平均速率为速率平方的平均值为即速率的方均根值为平均动能为7.14已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布其能量表达式为：其中a、b是常数求粒子的平均能量。解：能量表达为：由能均分定理：7.15气柱高H截面S处在重力场中证证明：设气体是单原子分子。在重力场中分子的能量为:配分函数为气柱的内能为:气体的热容量为7.1