玻耳兹曼统计.docx

第七章玻耳兹曼统计
7.1据公式证明，对于非相对论粒子有。
解：边长L的立方体中，粒子能量本征值：，简记为
其中是系统体积，常量，并以指标代表三个量子数。
从而得：，代入压强公式，有。
7.2试根据公式证明，对于相对论粒子，有。
解:边长为L的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为：
用指标表示量子数表示系统的体积，可将上式简记为
其中：由此代入压强
7.3选择不同的能量零点，粒子第个能级的能量可以取为或。以表示二者之差，试证明相应配分函数存在关系，并讨论由配分函数和求得的热力学函数有何差别.
解:当选择不同的能量零点时，粒子能级的能量可以取为或
配分函数，故
根据内能的统计表达式：，容易证明
根据压强的统计表达式：，容易证明
根据熵统计表达式：，容易证明其他热力学函数请自行考虑。
7.4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为，式中PS是粒子处在量子态S的概率，对粒子的所有量子态求和。
证明：S态上的平均粒子数为,概率为
显然有归一化条件，且粒子的平均能量可以表示为
定域系统的熵为：
7.5某固体含有A、B两种原子，试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合熵为：，其中，N是总原子数，x是A原子的百分比，(1-x)是B原子的百分比。
证明：A种原子在N个格点随即分布的状态数：
所以混合熵
当N很大时，利用公式
7.6晶体含有N个原子，原子在晶体中的正常位置如图中的“O”所示.当原子离开正常位置而占据图中的“”位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子.晶体的这种缺陷称为Frenkel缺陷.
(a)假设正常位置和填隙位置数都是N，试证明，由于在晶体中形成个缺位和填隙原子而具有的熵等于:
(b)设原子在填隙位置和正常位置的能量差为.试由自由能为极小证明，温度为T时，缺位和填隙原子数为:
解:(a)晶体内N个原子，正常的格点位置亦为N.当固体的N个正常位置出现个缺位时，由于缺位位置的不同，可以有个微观状态，同样也可以有个微观状态.因此总的可能的微观状态数为：，因此弗伦克尔缺陷熵为：
(b)形成个缺位和填隙原子后，固体内能的增加为
自由能的改变为
假设形成缺陷后固体的体积不变，温度为T时平衡态的自由能为极小:
从而得：，即
由于，上式可以近似为
7.7如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置，构成新的一层，称为肖脱基缺陷.以N表示晶体中的原子数，表示晶体中的缺陷数.如果忽略晶体体积的变化，试用自由能为极小的条件证明，温度为T时，有（设），其中W为原子在表面位置与正常位置的能量差。
解:在原有的N个正常位置中个原子转移到表面，就有个缺位，有：
形成缺陷后固体熵增为
形成个肖脱基后内能的增加为，自由能的改变为
忽略固体体积的变化，温度为T时平衡态自由能最小要求：
得，即，由于，上式近似为：
7.8气体以恒定的速度沿Z方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分布为。
证明：气体是非定域系统，由于满足经典极限条件而遵从玻尔兹曼分布。
微观状态数为，其对数为
令各有al的变化al，ln，因而有变化
在气体沿Z方向作整体运动的情形下，分布满足：;;
要求;;，气体分子分布是使ln为极大。
用拉氏乘子1，和法，得
每个al的系数都等于零，所以有或
写成动量的连续分布：在体积V=L3内，在PX到PX+dPX，PY到PY+dPY，PZ到PZ+dPZ，的动量范围内的分子数为
7.9气体以恒定速度v0沿Z方向作整体运动。求分子的平均平动能量。
解：以v0沿Z方向运动的气体，速度分布为:
分子平均动能为:

7.10表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维气体.试写出二维气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率，最概然速率和方均根速率.
解:在液面上物质分子的速度分布为:
速率分布为:
极坐标系下平均速率为:
速率平方的平均值为，方均根速率为
最概然速率条件确定，由此可得。
7.11根据麦氏速度分布律导出两分子的相对速度和相对速率的概率分布，并求相对速率的平均值．
解：I先求速度分布：两分子的相对速度在dvrxdvrydvrz内的几率:

v1x有关分量
同理v1y分量分别为;v1z分量分别为
于是，
引入，则速度分布为：
把变数换为vr,θ,φ,并对θ,φ积分，则得到速率分布为
相对速率的平均值
7.12试证明，单位时间内碰到单位面积器壁上的分子数为：。
解:单位时间内碰到单位面积器壁上，速度在范围内的子数为：
用速度空间的球坐标，可以表为：
对和积分有，因此得：
7.13分子从器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率和方均根速率。
解：单位时间内，碰到单位面积器壁上的分子数为
如果器壁有小孔，分子可以通过小孔逸出。当小孔足够小，对容器内分子的平衡分布影响可以忽略时，单位时间内逸出的