高考数学 3.1 变化率与导数、导数的计算总复习课件.ppt

§3.1变化率与导数、导数的计算2.函数y=f（x）在x=x0处的导数
（1）定义
称函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率

=为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x=x0，

即f′(x0)== .
（2）几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f（x）上点处的.相应地，切线方程为.3.函数f(x)的导函数
称函数f′(x)=为f（x）的导函
数，导函数有时也记作y′.
4.基本初等函数的导数公式ex基础自测
1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点
（1+Δx，2+Δy），则为 （ ）
A.Δx++2 B.Δx--2
C.Δx+2 D.2+Δx-
解析∵Δy=（1+Δx）2+1-12-1=(Δx)2+2Δx,
∴=Δx+2.2.设正弦函数y=sinx在x=0和x=附近的平均变化率为k1,k2,则k1,k2的大小关系为 （ ）
A.k1＞k2 B.k1＜k2
C.k1=k2 D.不确定
解析∵y=sinx,∴y′=(sinx)′=cosx,
k1=cos0=1，k2=cos=0，∴k1＞k2.3.曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为 （ ）
A.y=3x-4 B.y=-3x+2
C.y=-4x+3 D.y=4x-5
解析由y′=3x2-6x在点（1，-1）的值为-3，故切线方程为y+1=-3(x-1)，即y=-3x+2.4.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＞-f(x)恒成立，且常数a,b满足a＞b,则下列不等式一定成立的是 （ ）
A.af(b)＞bf(a) B.af(a)＞bf(b)
C.af(a)＜bf(b) D.af(b)＜bf(a)
解析令g(x)=xf(x),∴g′(x)=xf′(x)+f(x)＞0.
∴g(x)在R上为增函数，∵a＞b,
∴g（a)＞g(b),即af(a)＞bf(b).5.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是[0，]，则点P横坐标的取值范围为 （ ）
A. B.［-1，0］
C.［0，1］ D.
解析∵y=x2+2x+3，∴y′=2x+2.
∵曲线在点P(x0,y0)处切线倾斜角的取值范围是
[0,],
∴曲线在点P处的切线斜率0≤k≤1.
∴0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤.题型一利用导数的定义求函数的导数
【例1】求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化
率.
紧扣定义进行
计算.
解探究提高求函数f（x）平均变化率的步骤：
①求函数值的增量Δf=f（x2）-f（x1）；
②计算平均变化率
解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简
单，只要注意运算过程就可以了.知能迁移1利用导数定义，求函数在x=1处
的导数.
解方法一（导数定义法）方法二（导函数的函数值法）题型二导数的运算
【例2】求下列函数的导数.
（1）y=2x3+x-6；
（2）y=；
（3）y=(x+1)(x+2)(x+3)；
（4）y=-sin(1-2cos2）；
（5）.
如式子能化简的，可先化简，再利用导数公式和运算法则求导.解（1）y′=6x2+1.方法二
y′=［(x+1)(x+2)］′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′
=［(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′］(x+3)+(x+1)(x+2)
=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)
=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)
=3x2+12x+11.求函数的导数要准确地把函数分割为基本
函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法
则求导数.在求导过程中，要仔细分析函数解析式的
结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式.
对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形，如
（3）小题;对于比较复杂的函数，如果直接套用求导
法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可
将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形
式，再求导数，如（2）、（4）、（5）都是如此.但
必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误.知能迁移2求下列函数的导数.
（1）y=5x2-4x+1；(2)y=(2x2-1)(3x+1)；
（3）y=.
解(1)y′=(5x2-4x+1)′
=(5x2)′-(4x)′+(1)′=10x-4.
(2)∵y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1,
∴y′=(6x3+2x2-3x-1)′
=(6x3)′+2(x2)′-(3x)′-(1)′
=18x2+4x-3.【例3】求下列复合函数的导数.
(1)y=(2x-3)5;
(2)y=;
(3)y=sin2（2x+）;
(4)y=ln(2