复习指导3.1变化率与导数导数的计算含解析.docx

第一节变化率与导数、导数的计算

【知识重温】
一、必记5个知识点

1．平均变化率及瞬时变化率
(1)f(x)从x1到x2的平均变化率是：eq\f(Δy,Δx)＝①________________.
(2)f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝②________________.
2．导数的概念
(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的③______________，记作y'|x＝x0或f′(x0)，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝④________________.
3．导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是⑤____________________________，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为⑥________________.
4．基本初等函数的导数公式
(1)C′＝⑦________(C为常数)．
(2)(xn)′＝⑧________(n∈Q*)．
(3)(sinx)′＝⑨________，(cosx)′＝⑩________.
(4)(ex)′＝⑪________，(ax)′＝⑫________.
(5)(lnx)′＝⑬________，(logax)′＝⑭________.
5．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝⑮____________________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝⑯____________________.
(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
二、必明3个易误点
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)f′(x)与f′(x0)(x0为常数)表示的意义相同．()
(2)在曲线y＝f(x)上某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的．()
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．()
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()
二、教材改编
2．已知函数f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝()
A．eB．1
C．－1D．－e
3．曲线y＝1－eq\f(2,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为______________________．

三、易错易混
4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()

5．设f(x)＝ln(3－2x)＋cos2x，则f′(0)＝________.

四、走进高考
6．[2020·全国卷Ⅲ]设函数f(x)＝eq\f(ex,x＋a).若f′(1)＝eq\f(e,4)，则a＝________.

eq\x(考点一)导数的运算[自主练透型]
1．[2021·华中师范大学第一附中模拟]设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x3＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))))x2－x，则f′(1)＝________.
2．已知f(x)＝eq\f(cosx,ex)，则f′(x)＝________.
3．f(x)＝x(2019＋lnx)，若f′(x0)＝2020，则x0＝________.
4．[2021·山东省实验中学诊断性考试]设f(x)＝aex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝eq\f(1,e)，则a＋b＝________.

悟·技法

[注意]求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.
考点二导数的几何意义[分层深化型]
考向一：已知切点的切线方程
[例1][2020·全国卷Ⅰ]函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1