高考数学 2.2 函数的单调性与最大(小)值总复习课件.ppt

§2.2函数的单调性与最大(小)值
定义(2)单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是________或________，则称
函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，
________叫做f（x）的单调区间.
2.函数的最值基础自测
1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是
()
A.y=-x+1B.y=
C.y=x2-4x+5D.
解析∵y=-x+1,y=x2-4x+5,分别为一次函
数、二次函数、反比例函数，从它们的图象上可
以看出在（0，2）上都是减函数.
3.已知f(x)为R上的减函数，则满足
的实数x的取值范围是（）
A.(-1,1)
B.(0,1)
C.(-1,0)∪(0,1)
D.（-∞,-1)∪(1,+∞)
解析由已知条件：
不等式等价于
解得-1<x<1,且x≠0.4.函数y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数，则
()
A.B.
C.D.
解析使y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数,
则2k+1<0，即5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量，有以
下几个命题：
①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0；
②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0；
③
④
其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.
解析依据增函数的定义可知，对于①③，当自变
量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推
出函数y=f（x）为增函数.题型一函数单调性的判断
【例1】已知函数
证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
（1）用函数单调性的定义.
（2）用导数法.
证明方法一任取x1,x2∈(-1,+∞),
不妨设x1<x2,则x2-x1>0,
又∵x1+1>0,x2+1>0,

于是f(x2)-f(x1)=
故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.方法二
求导数得
∵a>1,∴当x>-1时，axlna>0,
f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立，
则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
对于给出具体解析式的函数，判断或证明
其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步
骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函
数则可以利用导数解之.知能迁移1试讨论函数x∈(-1,1)的单
调性（其中a≠0）.
解方法一根据单调性的定义求解.
设-1<x1<x2<1,

∵-1<x1<x2<1,∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0,

即-1<x1x2<1,∴x1x2+1>0.

因此，当a>0时，f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),此时函数为减函数；
当a<0时，f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),此时函数f(x)为增函数.
方法二

当a>0时，∵-1<x<1,

即f′(x)<0,此时f（x)在（-1，1）上为减函数.
同理，当a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.
综上可知，a>0时，f（x)在（-1，1）上为减函数；
a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.题型二复合函数的单调性
【例2】已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减
函数的区间是()
A.(3,6)B.(-1,0)
C.(1,2)D.（-3,-1）
先求得函数的定义域,然后再结合二次
函数、对数函数的单调性进行考虑.
解析由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3,结合二次函数的
对称轴直线x=1知,在对称轴左边函数y=x2-2x-3是
减函数，所以在区间（-∞，-1）上是减函数,由
此可得D项符合.故选D.（1）复合函数是指由若干个函数复合而
成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)
的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减”，
即f(u)与g(x)有相同的单调性，则f[g(x)]必为增函
数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必为减函数.
（2）讨论复合函数单调性的步骤是：
①求出复合函数的定义域；
②把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其
单调性；
③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；
④根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性.知能迁移2函数y=的递减区间为
（）
A.(1,+∞)B.
C.D.
解析作出t=2x2-3x+1的示意
图如图所示，
∵0<<1,∴递减.
要使递减,
t应该大于0且递增,
故x∈(1,+∞).题型三函数的单调性与最值
【例3】已知函数x∈[1,+∞).
(1)当a=时,求f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，试求实
数a的取值范围.
第(1)问可先证明函数f(x)在[1,+∞)
上的单调性,然后利用函数的单调性求解，对于第
(2)问可采用转化为求函数f(x)在[1,+∞)上的最