高考数学第一轮总复习 3.3等比数列(第2课时)课件 理 (广西专版教材) 课件.ppt

第三章数列题型3：等比数列性质的应用
1.等比数列{an}的公比为，前n项和为Sn，n∈N*.若S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，则其公比为()
A.B.
C.D.设{an}的公比为q，首项为a1.
由S2=a1+a1q，S4-S2=q2(a1+a1q)，
S6-S4=q4(a1+a1q)，及S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，可得其公比为
故选A.【点评】:等比数列有着许多同构性质，如①{an}是等比数列，则{a2n}也是等比数列，{akn+b}也是等比数列；②Sn是等比数列{an}的前n项的和，若Sm≠0，则数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…成等比数列.设正项等比数列{an}的首项前n项和为Sn，且210S30-(210+1)S20+S10=0，
求数列{an}的通项公式.由已知得210(S30-S20)=S20-S10，
即210·q10(S20-S10)=S20-S10.
因为an＞0，所以S20-S10≠0，
所以210·q10=1，
所以
从而题型4：等比数列与等差数列交汇891011已知等差数列{an}，a2=9，a5=21.
(1)求数列{an}的通项公式；
(1)设数列{an}的公差为d.
依题意得方程组a1+d=9
a1+4d=21，
解得a1=5，d=4.
所以数列{an}的通项公式为an=4n+1.(2)令bn=2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
由an=4n+1，
得bn=24n+1，
所以数列{bn}是首项为b1=25，公比q=24的等比数列，
于是得数列{bn}的前n项和题型5：等比数列中的探究性问题
3.已知数列{an}中，Sn是其前n项和，并且Sn+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1.
(1)设数列bn=an+1-2an(n=1,2,…)，
求证：数列{bn}是等比数列；
(1)证明：由Sn+1=4an+2，
Sn+2=4an+1+2，两式相减，得Sn+2-Sn+1=4(an+1-an)，
即an+2=4an+1-4an.
(根据bn的构造，如何把该式表示成bn+1与bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练.)
所以an+2-2an+1=2(an+1-2an).又bn=an+1-2an，所以bn+1=2bn.①
由S2=4a1+2，a1=1，得a1+a2=4a1+2，
解得a2=5，则b1=a2-2a1=3.②
由①和②知，
数列{bn}是首项为3，
公比为2的等比数列，
故bn=3·2n-1.(2)设数列(n=1,2,…)，求证：数列{cn}是等差数列；
证明：因为(n∈N*),
所以

又故数列{cn}是首项为公差为的等差数列，所以(3)求数列{an}的通项公式及前n项和.
因为又
所以所以an=(3n-1)·2n-2.
当n≥2时，Sn=4an-1+2=2n-1(3n-4)+2；
当n=1时，S1=a1=1也适合上式.
综上可知，
所求的前n项和为Sn=2n-1(3n-4)+2.【点评】:1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差、等比数列，求数列的通项公式与前n项和.解决本题的关键在于由条件Sn+1=4an+2得出递推公式.
2.解综合题要总览全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用.已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，
且数列{anan+1}是公比为q的等比数列.
设bn=a2n-1+a2n,数列{bn}的前n项和为Sn,
试推断是否存在常数k，使对任意n∈N*，都有Sn=2bn+k成立？
若存在，求出k的值；
若不存在，说明理由.由已知即
所以数列a1，a3，a5，…，a2n-1，…和a2，a4，a6，…，a2n，…都是公比为q的等比数列.
当q≠1时，
Sn=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)又bn=a1qn-1+a2qn-1=3qn-1，
所以
因为Sn=2bn+k，所以得q=2，
所以
当q=1时，a2n-1=1，a2n=2，
从而bn=3，Sn=3n，不满足题设条件，
故k=-3为所求.1.在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列.
2.一个等比数列的奇数项，仍组成一个等比数列，它的公比是原数列公比的二次幂.3.若{an}，{bn}为等比数列，则{λan}(λ≠0)，{|an|}，{manbn}(m≠0)仍为等比数列.
4.解题时，应注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度.