高考数学总复习 9.6空间角课件 文 大纲人教版教材课件.ppt

第6课时空间角2．直线与平面所成的角
(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的所成的角．当直线和平面平行时，直线和平面所成的角为．当直线和平面垂直时，直线和平面所成的角为．
(2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是.3．二面角
(1)二面角的定义
二面角：从一条直线出发的两个所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的，每个半平面叫做二面角的面，如图所示，棱为l，两个面分别为α、β的二面角记作，由A∈α，B∈β，二面角也记作.4．(B)妙用空间向量求空间角
(1)向量法求异面直线所成的角
若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，
则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝.
(2)向量法求线面所成的角
求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，a〉|＝.(3)向量法求二面角
求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2，
若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，
则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝；
若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，
则cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－.1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BC1和B1D1所成的角为()
A．30°B．45°
C．60°D．90°
答案：C2．已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为()
A．30°B．60°
C．90°D．120°
解析：由题易知m，n所成的角为两平面所成的角，故选B.
答案：B3．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()4．平面α∩平面β＝CD，P为这两个平面外一点，PA⊥α于A，PB⊥β于B，若PA＝2，PB＝1，AB＝，则二面角α－CD－β的大小为________．5．如右图所示，已知AB为平面α的一条斜线，B为斜足，AO⊥α，O为垂足，BC为α内的一条直线，∠ABC＝60°，∠OBC＝45°，则斜线AB和平面α所成的角为____________．(9B)方法二：如图所示建立空间直角坐标系D－xyz，设D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，则E(2,1,0)．[变式训练]1.矩形ABCD与矩形ABEF的公共边为AB，且平面ABCD⊥平面ABEF，如图所示，FD＝2，AD＝1，EF＝
(1)证明AE⊥平面FCB；
(2)求异面直线BD与AE所成角的余弦值．1．求一条直线与平面所成的角，具体步骤如下：
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线．
(2)证明：说明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段，斜线段和射影所组成的直角三角形中计算．2．利用向量法求线面角的方法．
一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；
(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．(2)如图，设AC∩BD＝O，连结OE.
由(1)知AC⊥平面PDB于O.
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角．
又O，E分别为DB，PB的中点，方法二：如图，以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz.
设AB＝a，PD＝h，
则A(a,0,0)，B(a，a,0)，
C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)．[变式训练]2.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E.
(1)证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；
(2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．(2)方法一：过点A作AF垂直A1E于点F，连结DF.
由(1)知，平面A1DE⊥平面ACC1A1，
所以AF⊥平面A1DE.
故∠ADF即为直线AD和平面A1DE所成的角．
因为DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC.
而△ABC是边长为4的正三角形，确定二面角的平面角的常用方法
(1)定义法：在棱上任取一点，过这点在两个半平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．
(2)三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个半平面上一点A(不在棱上)向另一半平面所在平面引垂线，再由垂足B(垂足在棱上则二面角为直二面角)向棱作垂线得到棱上