高三数学一轮复习 4.6 三角函数的性质课件 文 大纲人教版教材课件.ppt

理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能够应用函数图象和性质求简单三角函数的定义域、值域、单调区间和周期.解析式解析式解析式1．函数f(x)＝sinxcosx的最小值是()
A．－1 B．－ C. D．1
解析：f(x)＝sin2x，∴f(x)min＝－
答案：B2．(2009·广东卷)函数y＝2cos2－1是()
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析：y＝2cos2－1＝cos2＝cos＝cos
＝sin2x，而y＝sin2x为奇函数，其最小正周期T＝=π.
答案：A3．函数y＝sin的图象的一条对称轴的方程是()
A．x＝0 B．x＝ C．x＝π D．x＝2π
解析：∵y＝sinx的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)，
∴令＝kπ＋，k∈Z，
则x＝2kπ＋π，k∈Z，令k＝0，得x＝π.
答案：C4．函数y＝3sin，x∈[0，π]的单调递减区间为________．
解析：由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
由x∈[0，π]得0≤kπ＋且kπ＋≤π，
于是－≤k≤，
∵k∈Z，∴k＝0，∴y＝3sin在[0，π]上的单调递减区间为.
答案：求使函数解析式有意义的x的范围，一般转化为利用单位圆、数轴、三角函数的图象解不等式或不等式组．
【例1】求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝lg(sinx－cosx)；
(2)f(x)＝解：(1)∵sinx-cosx>0，
∴sinx>cosx.
在同一直角坐标系中作出y=sinx与y=cosx的图象(如右图)，由图可知，
2kπ+<x<2kπ+(k∈Z)．
故f(x)的定义域为 (2)

又
故f(x)的定义域为三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题，主要有以下三条途径：【例2】求函数f(x)＝－4sin2x的定义域和最大值．
思维点拨：用分母不为0求定义域；把f(x)化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值．
解：(1)由f(x)＝ －4sin2x可知x需满足：cos2x≠0，即
2x≠kπ＋(k∈Z)．从而f(x)的定义域为变式2：已知函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值．解法二：作函数f(x)
在长度为一个周期的区间上的图象如图．
由图象得函数f(x)在区间上的最大值为最小值为＝－1.(1)三角函数奇偶性的判断与代数函数奇偶性的判断步骤一致：(1)首先看定义域是否关于原点对称；(2)在满足(1)后再看f(－x)与f(x)的关系．
(2)由于三角函数具有奇偶性，从而决定了其具有对称性，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的交点即为对称中心，过最值点与x轴垂直的直线为对称轴．
(3)求三角函数的最小正周期的方法是将给定函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，然后借助于周期公式来求解，不易化简的可用数形结合法求解．【例3】(2009·广东广州联考)设函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)－1，将函数f(x)的图象向左平移α个单位，得到函数y＝g(x)的图象．
(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若0<α<，且g(x)是偶函数，求α的值．(2)g(x)＝f(x＋α)＝

∵g(x)是偶函数，∴g(0)＝±(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，比如：由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．【例4】已知函数f(x)＝sin＋sin－2cos2，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求
函数y＝f(x)的单调增区间．
思维点拨：(1)化简f(x)，利用三角函数的有界性求值域；(2)由已知可
求T＝π，从而求出ω，然后利用整体思想解出x的范围．解：(1)f(x)＝sinωx＋cosωx＋sinωx－cosωx－(cosωx＋1)
＝2－1＝2sin－1.
由－1≤sin≤1，得－3≤2sin－1≤1.
可知函数f(x)的值域为[－3,1]．
(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，得＝π.
又∵ω>0，即得ω＝2.于是有f(x)＝2sin－1，
再由
解得
所以y＝f(x)的单调增区间为(k∈Z)．拓展4：本例求出f(x)后，若将ω变为负值，如何求其单调增区间．
解：由例4