高考数学 6.5 数列的综合应用总复习课件.ppt

要点梳理
1.解答数列应用题的基本步骤
(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.
(2)建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征.
(3)求解——求出该问题的数学解.
(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中.2.数列应用题常见模型
(1)等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差.
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.
(3)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r,等额还款数为b,分n期还完，则b=基础自测
1.数列{an}是公差不为0的等差数列且a7、a10、a15是
等比数列{bn}的连续三项，若等比数列{bn}的首项
b1=3,则b2等于 （）
A.B.5C.2D.
解析由条件知=a7·a15,
∴（a7+3d）2=a7×(a7+8d),
∴9d=2a7，q=
∵b1=3，∴b2=b1·q=5.2.一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书，公元年代之和为13958，则出齐这套书的年份是 （ ）
A.1994 B.1996C.1998D.2000
解析设出齐这套书的年份是x，
则（x-12）+(x-10)+(x-8)+…+x=13958,
∴7x-=13958,∴x=2000.3.（2009·四川文，3）等差数列{an}的公差不为零，首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是 （ ）
A.90B.100C.145D.190
解析由题意知，（a1+d）2=a1(a1+4d),
即+2a1d+d2=+4a1d,∴d=2a1=2.
∴S10=10a1+d=10+90=100.4.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 （ ）
A.6秒 B.7秒
C.8秒 D.9秒
解析依题意1+21+22+…+2n-1≥100,
∴≥100,∴2n≥101,
∴n≥7,即至少需要7秒细菌将病毒全部杀死.5.已知数列{an}中，a1=2，点（an-1,an）(n＞1且n∈N)满足y=2x-1，则a1+a2+…+a10=.
解析∵an=2an-1-1，∴an-1=2(an-1-1),
∴{an-1}是等比数列，则an=2n-1+1.
∴a1+a2+…+a10
=10+(20+21+22+…+29)
=10+=1033.题型一等差数列与等比数列的综合应用
【例1】数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1).
（1）求{an}的通项公式；
（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn.
S1，n=1，
Sn-Sn-1，n≥2.
求an.
（2）注意等差数列与等比数列之间的相互关系.解（1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n≥2),
两式相减得an+1-an=2an,则an+1=3an(n≥2).
又a2=2S1+1=3,∴a2=3a1.
故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an=3n-1.
（2）设{bn}的公差为d,
由T3=15,b1+b2+b3=15,可得b2=5,
故可设b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,
由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，
解得d1=2,d2=-10.
∵等差数列{bn}的各项为正，∴d＞0,
∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+×2=n2+2n.探究提高对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系.往往用到转化与化归的思想方法.
知能迁移1（2009·全国Ⅰ文，17）设等差数列{an}的前n项和为Sn,公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn,已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求{an},{bn}的通项公式.
解设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.
由a3+b3=17得1+2d+3q2=17, ①
由T3-S3=12得q2+q-d=4. ②
由①、②及q＞0解得q=2,d=2.
故所求的通项公式为an=2n-1,bn=3×2n-1.题型二数列与函数的综合应用
【例2】（12分）已知f(x)=logax(a＞0且a≠1)，设
f(a1),f(a2),…,f(an)(n∈N*)是首项为4，公差为
2的等差数列.
（1）设a为常数，求证：{an}是等比数列；
（2）若bn=anf(an),{bn}的前n项和是Sn,