2008高考数学总复习 数列的综合应用.doc

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2008高考数学总复习数列的综合应用
高考要求
(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项
(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题
(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题
知识点归纳
1通项与前n项和的关系：
2迭加累加法：
，
，，………，

3迭乘累乘法：
，，，………，

4裂项相消法：
5错位相减法：
,是公差d≠0等差数列，是公比q≠1等比数列

所以有
6通项分解法：
7等差与等比的互变关系：

8等比、等差数列和的形式：

9无穷递缩等比数列的所有项和：

题型讲解
例1等差数列{an}的首项a1>0,前n项和为Sn,若Sm=Sk(m≠k),问n为何值时，Sn最大？
解：根据，首项a1>0,若m+k为偶数,则当n=(m+k)/2时，Sn最大；
若m+k为奇数，当n=(m+k─1)/2或n=(m+k+1)/2时，Sn最大
例2已知关于n的不等式1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)>对于一切大于1的自然数n都成立，求a的取值范围
解：把1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)看成一个函数f(n),将问题转化为函数f(n)的最小值大于右式
∵f(n)＝1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)
∴f(n+1)－f(n)＝〔1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(2n+2)〕
－〔1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)〕
＝1/(2n+2)+1/(2n+1)－1/(n+1)
＝1/(2n+1)－1/(2n+2)>0
∴f(n+1)>f(n)
∴函数f(n)是增函数，故其最小值为f(2)=7/12,
∴7/12>,
解得：1<a<(+1)/2
例3已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p,q,其中p>q且q≠1,p≠1,设Cn=an+bn,Sn为数列{Cn}的前n项和，求
解：,以下分两种情况讨论：
(1)当p>1时,
∵p>q>0,∴0<q/p<1=0,=0,
两边同除以pn,得：=p;
(2)当p<1时,
∵p>q>o,∴0<q<p<1=0,=0,∴=1
例4如图所示：已知抛物线y=x2,点An的坐标为(1,0),将OAn分为n等分，分点为A1,A2,…An─1,过A1,A2,…An─1,An分别作y轴的平行线，分别交抛物线于B1,B2,B3,…Bn─1,Bn,再分别以OA1,A1A2,A2A3,…An─1An为宽作n个小矩形求n个小矩形的面积之和；求(即曲边梯形OAnBn的面积)
解：Sn=
=(n+1)(2n+1)/(6n2);
=1/3
本题用极限的思想求曲边梯形的面积，正是高等数学中的思想
例5等差数列{an}中，已知公差d≠0,an≠0,设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0(r∈N)是关于x的一组方程
①证明这些方程中有公共根，并求这个公共根；
②设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0的另一根记为mr,证明：数列{1/(mr+1)}是等差数列
解：①依题意，由{an}是等差数列，有ar+ar+2=2ar+1(r∈N),即x=─1时，方程成立，因此方程恒有实数根x=─1;
②设公差为d(化归思想),先解出方程的另一根mr=─ar+2/ar,
∴1/(mr+1)=ar/(ar─ar+2)=─ar/(2d),
∴1/(mr+1+1)─1/(mr+1)=〔─ar+1/(2d)〕─〔─ar/(2d)〕=─1/2,
∴{1/(mr+1)}是等差数列
例6数列{an}的前n项和Sn=na+(n─1)nb,(n=1,2,…),a,b是常数，且b≠0,
①求证{an}是等差数列；
②求证以(an,Sn/n─1)为坐标的点Pn都落在同一直线上，并求出直线方程；
③设a=1,b=1/2,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r>0),求使得点P1,P2,P3都落在圆外的r的取值范围
证明：①根据得an=a+(n─1)2b,
∴{an}是等差数列，首项为a,公比为2b
②由x=an=a+(n─1)2b,y=Sn/n─1=a+(n─1)b
两式中消去n,得：x─2y+a─2=0,
（另外算斜率也是一种办法）
(3)P1(1,0),P2(2,1/2),P3(3,1),它们都落在圆外的条件是：
(r─1)2+r2>r2;(r─2)2+(r─1/2)2>r2;(r─3)2+(r─1)2>r2
∴r的取值范围是(1,5/2─)∪(0,1)∪(4+,+∞)
例7已知数列{an}满足条件a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比为q(q>0)的等比数